Явление резонанса. Резонансные кривые

Поскольку свободные механические колебания реальной системы являются затухающими, то для поддержания таких колебаний используют переменную внешнюю силу, приложенную к системе. Ее называют вынуждающей, или возмущающей силой, а сами колебания называются вынужденными колебаниями, совершающимися с частотой возмущающей силы. Пусть на материальную точку вдоль оси действуют возвращающая сила и вынуждающая внешняя сила, которая изменяется во времени по гармоническому закону . Тогда дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид:

,

, (34.1)

где ; ; .

Общее решение этого уравнения состоит из двух решений:

. (34.2)

Здесь общее решение однородного дифференциального уравнения вида (33.3);

частное решение неоднородного дифференциального уравнения (34.1).

Первое слагаемое, т.е. быстро затухает . Поэтому при вклад в решение (34.2) дает только частное решение (второе слагаемое), которое представляет собой вынужденные гармонические колебания осциллятора с частотой, равной частоте вынуждающей силы, т.е.

. (34.3)

Такой осциллятор является системой, в которой можно возбудить механические колебания.

Выражения для амплитуды и сдвиг фазы найдем, подставив в дифференциальное уравнение (34.1) решение (34.3) и его производные:

,

,

.

В результате подстановки получим тригонометрическое уравнение:

(34.4)

Уравнение (34.4) показывает, что сумма трех одинаково направленных гармонических колебаний с амплитудами

, , и различными начальными фазами , и должна совпадать с гармоническим колебанием, происходящим по закону с амплитудой .