Основы метрологии и измерений 4 страница

(1-25)

Более реальную оценку погрешности можно получить статистическим сложением составляющих погрешности:

(1-26)

где — граница і-й неисключенной составляющей систематической погрешности, включающая в себя погрешности средства, метода, дополнительные погрешности и др.; k — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0, 95, коэффициент k= 1, 11); m — число неисключенных составляющих.

Результат измерения записывается по первой форме записи ре-зультатов согласно ГОСТ 8.011—72 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений»:

где Х_и — результат однократного измерения; — суммарная погрешность результата измерений; Р — доверительная вероятность (при Р= 0, 95 может не указываться).

При проведении измерений в нормальных условиях можно считать

Методика обработки результатов прямых однократных измерений приведена в рекомендациях МИ 1552 — 86 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений».

Неравноточные измерения. В практике измерений имеют место также и неравноточные измерения, когда измерения одной и той же физической величины проводятся несколькими наблюдателями различной квалификации и опыта, на приборах разного класса точности или в течение нескольких дней. Полученные значения средних арифметических отдельных выборок отличаются друг от друга, поэтому при оценке результата измерения и его погрешности учитывается степень доверия к полученным выборочным средним в виде «веса», который устанавливается для каждой серии измерений пропорционально одному из параметров (вероятности, числу измерений, величине среднеквадратичного отклонения), либо методом экспертных оценок. Если установлено, что все выборки неравноточных измерений принадлежат одной генеральной совокупности, то определяют статистические параметры этой генеральной совокупности и устанавливают границы доверительной вероятности по распределению Стьюдента.

В практике измерений случается, что при нескольких сериях измерений некоторые из них оказываются менее надежными. В этом случае степень доверия оценивается весом данной серии измерений. Чем больше степень доверия к результату, тем больше число, выражающее вес. Среднее взвешенное значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному значению, составляет

(1.27)

где — средние значения для отдельных групп измерений; — их вес.

В основу вычисления обычно кладут среднеквадратичные погрешности. Веса соответственных групп измерений считают обратно пропорциональными их дисперсиям, т. е. используют зависимость

Среднеквадратичная погрешность средневзвешенного значения S₀ определяется по формуле

где — вес каждого результата измерений; m — число рядов измерений.

Косвенные измерения. При косвенных измерениях значение физической величины z определяется по функциональной зависимости ее с другими физическими величинами а₁, а₂,..., а_m:

(1.29)

При этом погрешность оценки систематической ∆ _с и случайной ∆ величины z зависит не только от погрешностей результатов измерений а₁, а₂,..., а_m, но и от вида используемой функциональной зависимости (1.29).

Пусть каждая из величин a_j (j = 1, 2,..., m) измерена с систематической погрешностью ∆ _сj. Необходимо оценить значение погрешности ∆ _z результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных а_j, запишем ее полный дифференциал:

или

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим дифференциалы соответствующими приращениями:

(1.30)

Каждое слагаемое вида представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью определения величины . Частные производные называют коэффициентами влияния соответствующих погрешностей.

Оценим случайную погрешность результатов косвенных измерений. Пусть величины измерены со случайными погрешностями имеющими нулевые математические ожидания и дисперсии . Запишем выражения для математического ожидания и дисперсии погрешности :

где — коэффициент корреляции погрешностей и .

Если погрешности и некоррелированы, то и

(1.31)

Таким образом, для оценки результата z косвенного измерения следует использовать формулу (1.29), а для оценки систематических и случайных погрешностей — соответственно (1.30) и (1.31).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты влияния , присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин . Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок . Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

Суммарную составляющую случайной погрешности косвенного измерения можно упростить, если пренебречь погрешностями, имеющими малые значения. Согласно критерию «ничтожной погрешности», если меньшая по значению случайная погрешность втрое меньше по значению большей по значению т.е. то ею можно пренебречь.

1.11. СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

При измерениях может быть несколько источников как систематических, так и случайных погрешностей. Поэтому практически важным является вопрос о правилах нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неиск-люченной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как случайные величины. Если известны границы , составляющих неисключенной систематической погрешности, а распределение этих составляющих в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляется по формуле (1.26). При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарную среднеквадратичную погрешность при двух составляющих можно вычислить по формуле

(1.32)

где и — среднеквадратичные погрешности отдельных составляющих; — коэффициент корреляции.

Поскольку на практике трудно получить корректную оценку коэффициента , приходится ограничиваться крайними случаями, т. е. считать, что либо = 0, либо = ± 1. Тогда приведенная выше формула примет вид

(1.33)

или

(1.34)

Таким образом, при отсутствии корреляционной связи среднеквадратичные погрешности складываются геометрически, а в случае жесткой корреляционной зависимости — алгебраически. Этот вывод справедлив и для случая нескольких источников погрешностей. При суммировании независимых погрешностей различных составляющих надо пользоваться критерием «ничтожной погрешности», который позволит значительно упростить вычисления. Из этого критерия следует, что группа погрешностей отбрасывается, если их сумма меньше одной трети максимальной погрешности.

Правила нахождения границы погрешности результата измерения при одновременном наличии как неисключенных систематических, так и случайных погрешностей также регламентируются ГОСТ 8.207—76 и заключаются в следующем. Если , то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

(1.35)

где — коэффициент Стьюдента, определяемый по таблицам.

Если то, наоборот, пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематической и считают, что граница погрешности результата .

Если эти неравенства не выполняются, следует найти композицию распределения случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины, вычислить значение среднеквадратичного отклонения и затем границы суммарной погрешности результата измерения при помощи приведенных в ГОСТ 8.207—76 эмпирических формул.

1.12. ФОРМЫ ЗАПИСИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат измерения пригоден для дальнейшего использования лишь тогда, когда помимо измеренного значения физической величины в нем указывается и значение погрешности. Производственные измерения проводят обычно однократно, и точность полученного результата оценивают по нормируемым метрологическим характеристикам используемых средств измерения.

Вычисляться должны как абсолютные, так и относительные погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая — для однозначной сравнительной характеристики его точности.

В общем случае суммарная погрешность измерения будет содержать систематическую и случайную составляющие:

(1.36)

Если не произведено разделение погрешностей на систематические и случайные, то результат измерения (в соответствии с ГОСТ 8.011—72 «Показатели точности и формы представления результатов измерений») записывают в виде где х — результат измерения в единицах измеряемой величины; соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами; Р — вероятность.

Результаты многократных наблюдений, полученные при прямых измерениях физической величины, называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Измерения в этом случае проводятся одним наблюдателем в одинаковых условиях внешней среды и с помощью одного и того же средства измерения.

Точную оценку действительного значения измеряемой величины при равноточных измерениях можно получить лишь путем статистической обработки группы результатов измерений.

Конечный результат измерений согласно ГОСТ 8.011 — 72 представляется в одной из четырех форм:

1. интервалом, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения;

2. интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая составляющая погрешности, стандартной аппроксимацией функции распределения случайной составляющей погрешности измерения и среднеквадратичным отклонением случайной составляющей погрешности измерения;

3. стандартными аппроксимациями функции распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения и их среднеквадратичными отклонениями;

4. функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения.

Выбор формы представления результата измерения определяется назначением измерений и характером использования их результатов.

При записи результата измерения и погрешности младшие разряды числовых значений результата измерения и числовых значений погрешности должны быть одинаковыми.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятиям «метрология», «измерение», «физическая величина», «средство измерений».

2. Перечислите основные виды и методы измерений.

3. Сформулируйте основное отличие операций «измерения» от «контроля».

4. В чем основное отличие меры от эталона?

5. Приведите классификацию мер.

6. Эталоны каких физических величин вы знаете?

7. Что такое поправка?

8. В чем различие наблюдений от измерений?

9. Какие основные измерительные операции выполняются при измерении?

10. Какие унифицированные сигналы имеют измерительные преобразователи?

11. Что такое масштабирование?

12. В чем отличие прямых измерений от косвенных?

13. Приведите пример совокупных и совместных измерений.

14. Дайте определение метода измерений.

15. Сравните по точности известные методы измерений.

16. Приведите классификацию погрешностей измерений.

17. Приведите классификацию средств измерения.

18. В чем различие метрологических характеристик от неметрологических?

19. Перечислите основные метрологические характеристики.

20. В чем отличие метрологических характеристик от нормируемых метрологических?

21. Перечислите основные нормируемые метрологические характеристики.

22. Сформулируйте отличие чувствительности от порога чувствительности.

23. Как определяют цену деления шкалы прибора?

24. В чем отличие диапазона измерений от диапазона показаний?

25. Приведите классификацию погрешностей средств измерений.

26. Как обозначается класс точности для различных средств измерений?

27. Что характеризует класс точности прибора?

28. Перечислите классы точности электромеханических измерительных приборов.

29. Назовите причины появления систематических погрешностей.

30. Перечислите способы исключения систематических погрешностей.

31. Что такое неисключенный остаток систематической погрешности?

32. Перечислите числовые характеристики законов распределения.

33. Как рассчитывается систематическая и случайная погрешности косвенных измерений?

34. Сформулируйте закон суммирования погрешностей.

35. Как оценивается результат измерения по метрологическим характеристикам средств измерений?

36. Приведите формы записи однократных и многократных измерений.

37. Приведите пример неравноточных измерений.

38. Как оценивается результат неравноточных измерений?

ГЛАВА 2