Указания о порядке выполнения РГР (контрольной

Посвоей конструкции вариационный ряд состоит из двух столбцов (граф): один столбец — значения варьирующего призна­ка (х - варианты), другой - частоты (т - абсолютное число слу­чаев данного варианта) или частости (w — относительная доля каждой частоты в общей сумме частот). Дискретный ряд распределения можно рассматривать как такое преобразование ранжированного (упорядоченного) ряда, при ко­тором перечисляются отдельные значения признака и указывается их частота. Примером дискретного ряда может служить распреде­ление домашних хозяйств по числу их членов.

Если число вариантов велико или признак имеет непрерыв­ную вариацию, то объединение отдельных наблюдений в группы возможно лишь на базе интервала, т.е. такой группы, которая имеет определенные пределы значений варьирующего признака. При использовании интервалов образуются интервальные ряды распре­деления. Середину (центр) каждого интервала находят как полусумму нижнего и верхнего значений интервала

Графически вариационный ряд можно изобразить, как и лю­бой ряд значений аргумента и функции, используя прямоуголь­ную систему координат и строя точки с координатами . Если затем последовательно соединить полу­ченные точки отрезками прямой, а из первой и последней точки опустить перпендикуляры на ось Х, получим замкнутую фигуру в виде многоугольника, которая называется полигоном и графичес­ки представляет распределение совокупности по признаку х.

По­лигон чаще используется для дискретных вариационных рядов. На рисунке 2.1 представлен полигон распределения домашних хозяйств по числу их членов.

Интервальный вариационный ряд изображают в виде гис­тограммы. Для интервального ряда с равными интервалами на оси Хоткладывают отрезки, равные длине интервала.

Рисунок2.1 - Полигон распределения

На этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высота ко­торых пропорциональна частоте или частости. Для интервально­го ряда с неравными интервалами на оси ординат откладывают плотности распределения, так как в этом случае именно плотность дает представление о заполненности каждого интерва­ла (рисунок 2.2):

Рисунок2.2 - Гистограмма распределения

Площадь всей гистограммы численно равна сумме частот, или численности единиц в совокупности (если на оси ординат отло­жить частоты).

Любой вариационный ряд можно представить графически в виде кривой накопленных частот (или частостей). При этом на оси х откладывают варианты или верхние границы интервалов, а на оси у - соответствующие накопленные частоты (или частос­ти). Полученные точки соединяют для непрерывного признака плавной кривой, которая называется кумулятивной кривой, или кумулятой. Если значения х (варианты) откладывать на оси у, а накопленные частоты (или частости) на оси х, то построенная на них кумулятивная кривая называется огивой.

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).

Для оценки меры вариации и ее значимости пользуются также коэффициентом вариации V, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего линейного (линейный коэффициент вариации) или среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, а результат выражается в процентах:

; .

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 33 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

При изучении асимметрии распределения вариационного ряда рассчитывают коэффициент асимметрии:

или .

Если коэффициент асимметрии больше нуля, то в распределении наблюдается правосторонняя асимметрия, если меньше нуля – левосторонняя.

Задача 4 составлена по теме «Анализ рядов динамики».

Ряд динамики – это ряд последовательно расположенных статистических показателей (в хронологическом порядке), изменение которых показывает ход развития изучаемого явления.

Ряд динамики состоит из двух элементов: момента (периода) времени и соответствующего ему статистического показателя, который называется уровнем ряда. Уровень ряда характеризует размер явления по состоянию на указанный в нем момент (период) времени. В связи со сказанным различают моментные и интервальные ряды динамики.

Абсолютное изменение характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определённый промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста.

Абсолютный прирост (цепной):

Абсолютный прирост (базисный):

,

где - уровень сравниваемого периода;

- уровень предшествующего периода;

- уровень базисного периода.

Для характеристики интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой либо период времени исчисляют темпы роста (снижения). Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчётного уровня к базисному. Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы называется коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели интенсивности изменения отличаются только единицами измерения.

Коэффициент роста:

цепной - ; базисный - .

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.

Относительную оценку скорости изменения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

.

Темп роста:

цепной - ; базисный - .

Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах и долях единицы (коэффициенты прироста):

Темп прироста:

цепной - ; базисный -. .

Темп прироста (сокращения) можно получить и из темпа роста, выраженного в процентах, если из него вычесть 100 %. Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:

Произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста конечному:

Частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста:

.

Чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, рассмотрим его в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определим средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

где - абсолютные уровни ряда;

- число уровней ряда.

Средний абсолютный прирост может быть рассчитан базисным и цепным способами:

базисный:

,

где n – число уровней ряда.

цепной:

,

где n – число цепных абсолютных приростов.

Средние темпы прироста (сокращения) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100 %. Соответственно при исчислении средних коэффициентов прироста из значений коэффициентов роста вычитается единица:

Одним из способов определения тенденции в ряду динамики является метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:

— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями

; ; ;

......... .

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:

— — — —,

сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по трем, четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.

Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;

; .

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

Например:

,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического

выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и

соответствующие теоретические уровни ряда динамики,

образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:

Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .

Для прямой:

;

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные

уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

; .

Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней ряда. Прежде, чем использовать методы изучения сезонности, необходимо подготовить данные, приведённые в сопоставимый вид, за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам. Изменения сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.

1 Ряд динамики не имеет общей тенденции развития, либо она не велика.

Индекс сезонности:

,

где — средний уровень ряда, полученный в результате осреднения

уровней ряда за одноимённые периоды времени (например, средний

уровень января за все годы наблюдения);

— общий средний уровень ряда за всё время наблюдения.

Вывод о наличии или отсутствия в ряду динамики ярко выраженной тенденции может производиться, например, при помощи метода укрупнения интервалов.

2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.

Индекс сезонности:

,

где — исходные уровни ряда;

— уровни ряда, полученные в результате определения скользящих

средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни;

i — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс

сезонности;

n — число лет наблюдения за процессом.

В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо — уровней, полученных методом скользящих средних, используются — полученные методом аналитического выравнивания.

Задача 5 составлена по теме «Экономические индексы».

Статистический индекс — это относительная величина, характеризующая соотношение значений определенного показателя во времени, пространстве, а также сравнение фактических данных с планом или иным нормативом.

Индивидуальные индексы характеризуют относительное изменение отдельного единичного элемента сложной совокупности (например, изменение цены на хлеб, молоко, изменение объема добычи нефти и газа и т.д.).

Общие (агрегатные) индексы характеризуют относительное изменение индексируемой величины (показателя) в целом по сложной совокупности, отдельные элементы которой несоизмеримы в физических единицах (таблица 2.3).

Таблица 2.3 – Виды агрегатных индексов и формулы их расчета

Индекс	Формула расчета	Индекс	Формула расчета
Стоимости (товарооборота, выручки)	=	Цен (Г. Пааше)	=
Физического объема продукции	=	Цен (Э. Ласпейреса)	=
Заработной платы	=	Цен (И. Фишера)	=
Фонда оплаты труда	=	Себестоимости	=

Разница между числителем и знаменателем индекса стоимости реализации (товарооборота) отражает абсолютное изменение товарооборота за счет динамики двух показателей – цены и физического объема продукции.

Разница между числителем и знаменателем индекса цен означает абсолютный прирост товарооборота (выручки от продаж) в результате среднего изменения цен или экономию (перерасход) денежных средств населения в результате среднего снижения (повышения) цен.

Разница между числителем и знаменателем индекса физического объема продукции отражает изменение товарооборота под влиянием динамики физического объема реализованной продукции.

Взаимосвязь индексов:

= ; = .

Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчётного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального индекса на индексируемую величину базисного периода.

Так, индивидуальный индекс цен равен:

,

откуда:

.

Следовательно, преобразование агрегатного индекса цен в средний арифметический имеет вид:

= =

Аналогично индекс себестоимости равен , откуда , следовательно:

= = .

Аналогично индекс физического объёма продукции (товарооборота) равен , откуда , следовательно:

= = .

При изучении качественных показателей приходится рассматривать изменение во времени или в пространстве средней величины индексируемого показателя для определенной однородной совокупности. Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается как под влиянием значений показателя у индивидуальных элементов (единиц), из которых состоит объект, так и под влиянием соотношения их весов («структуры» объекта).

Индекс переменного состава отражает динамику среднего показателя (для однородной совокупности) за счет изменения индексируемой величины х у отдельных элементов (частей) целого) и за счет изменения весов f, по которым взвешиваются отдельные значения х.

.

Абсолютное изменение индексируемой величины за счет двух факторов:

.

Индекс фиксированного состава отражает динамику среднего показателя за счет изменения индексируемой величины х, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчетного периода:

; .

Динамику среднего показателя за счет изменения весов при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода отражает индекс структурных сдвигов:

Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле:

,

где - квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

Порядок расчета:

1) ранжируем значения признака по возрастанию, каждому значению признака присваиваем порядковый номер – ранг;

2) ранжируем значения признака по возрастанию, каждому значению признака присваиваем ранг;

3) возвращаемся к исходному ряду значений признака и ставим его порядковый номер, аналогичную процедуру проводим для признака ;

4) находим разность рангов ;

5) определяем величину и находим коэффициент Спирмена.

Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от минус 1 до 1.

Для расчета коэффициента Кендэла необходимо значения рангов расположить в порядке возрастания. В сооттветствии с этим порядком располагаются ранги . Затем рассчитываются величины Р и Т.

Если для каждого ранга определить число следующих за ним рангов, превышающих его величину, то сумму таких превышений обозначим через Р.

Если для каждого ранга определить число предшествующих ему значений рангов, превышающих его величину, то сумму таких превышений обозначим Т. Далее определяем величину S = Р - Т.

Коэффициента Кендэла рассчитывается по формуле:

,

где n - число наблюдений.

Коэффициенты ассоциации и контингенции – показатели оценки тесноты связи между двумя альтернативными признаками.

Коэффициенты определяются по формулам:

ассоциации ,

контингенции ,

где a, b, c, d – число единиц одновременного появления альтернативных

признаков.

Коэффициенты изменяются от минус 1 до 1. Близость коэффициентов к единице свидетельствует о тесной положительной связи. Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции имеет вид (таблица 2.4):

Таблица 2.4 – Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов ассоциации и контингенции

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденный, если К_а ³ 0, 5 или К_к ³ 0, 3.