Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Занятия 7–8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду. Пусть в некотором базисе выражение для квадратичной формы имеет вид (2) Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если λ i = ±l, 0, i = 1, 2,..., n, то получаем нормальный вид квадратичной формы А (x, x). Для всякой квадратичной формы существует такой базис B', в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма А (x, x)в базисе B имеет вид (1, занятие 6). Если все коэффициенты аij (при квадратах ), i = l, 2,..., п равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2 а 12 х 1 х 2. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами
Тогда , и так как, по предположению, а 11 = а 22 = 0, то коэффициент при отличен от нуля. Таким образом, всегда найдется такой базис B, в котором в записи (1, занятие 6) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля. В дальнейшем считаем, что . (Если , то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы e 1,..., e n, что также является некоторым преобразованием базиса.) Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую х 1, т. е.
дополним эту сумму до полного квадрата:
где γ есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от x 1. Если теперь сделать замену
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
В полученной форме выделено слагаемое , а оставшаяся часть A 1является квадратичной формой в L n − 1. Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы А 1(х, x)и т.д. Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
1-е преобразование: x 1 = x' 2, x 2 = x' 1, х 3 = х' 3. Тогда получим
2-е преобразование: x'' 1 = − x' 1 + x '2, x'' 2 = x' 2, х'' 3 = х' 3. Получим новое выражение для квадратичной формы:
3-е преобразование: x''' 1 = x'' 1, x''' 2 = x'' 2 + 2 x ''3, х''' 3 = х'' 3, и форма принимает канонический вид:
При этом x''' 1 = x 1 − x 2, x''' 2 = x 1 + 2 x 3, х''' 3 = х 3. Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1, занятие 6) в евклидовом пространстве R n. Так как ее матрица А = (аij)симметрична, то она может быть представкой в виде A = UDUT, где D − диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы A, a U − ортогональная матрица. Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса B = (e 1,..., e n), в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма − искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму , заданную в евклидовом пространстве R 3, к каноническому виду. Написать этот канонический вид. Матрица квадратичной формы имеет вид: Собственные числа этой матрицы суть λ 1 = 3, λ 2 = 6, λ 3 = 9. Соответствующие ортонормированные собственные векторы: e '1 = (2/3, 2/3, − 1/3), e '2 = (− 1/3, 2/3, 2/3), e '3 = (2/3, − 1/3, 2/3), и следовательно, В базисе B' = (e '1, e '2, e '3) заданная квадратичная форма имеет вид , а соответствующее преобразование координат: , , Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве R n называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (3) где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных x 1, x 2,..., xn. Множество точек плоскости R 2, удовлетворяющих уравнению (3), называется кривой второго порядка. Каноническое уравнение может принимать один из следующих видов (в переменных x, у): 1) ; 2) ; 3) Задачи: Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм: 4.210. . 4.211. . Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид: 4.213. . 4.215. . В задачах 4.226− 4.231 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат. 4.226. . 4.228. . 4.231. . Домашнее задание: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230 4.212. . 4.214. . 4.216. . 4.227. . 4.229. . 4.230. . Ответы
|