Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.
Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве Lзадана линейная форма, если каждому вектору поставлено в соответствие число f (x), причем выполнены условия f (х + y) = f (х) + f (y), f (λ х) = λ f (х), , . Билинейные формы. Числовая функция А (х, у): , заданная на действительном линейном пространстве Lназывается билинейной формой, если при фиксированном у она является линейной формой по x, а при фиксированном x − линейной формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если А (x, у) = А (y, x), . Если в пространстве L n фиксирован некоторый базис B = (e 1,..., e n), то матрица A = (aij), aij = А (e i, e j)называется матрицей билинейной формы А (х, у)в базисе B. Квадратичные формы. Пусть А (х, у) − симметрическая билинейная форма. Форма А (х, х), которая получается из А (х, у), если положить у = х, называется квадратичной. При этом А (х, у)называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А (х, x). Если в действительном линейном пространстве L n фиксирован некоторый базис B = (e 1,..., e n), то квадратичная форма А (х, x)в этом базисе имеет вид (1) где A = (aij) − матрица квадратичной формы и x = xi e i +... + xn e n. Квадратичная форма А (х, x), определенная в действительном линейном пространстве L n. называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого () выполняется А (х, x) > 0 (А (х, x) < 0). Пусть A = (aij) − матрица квадратичной формы А (х, x) и , , − последовательность главных миноров матрицы A. Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А (х, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т.е. Dk > 0, k = 1, 2,..., n. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Dk чередуются, начиная с отрицательного, причем D 1 < 0.
Задачи: Доказать, что в пространстве Lфункция f (х), является линейной формой: 4.192. . 4.194. − фиксированный вектор. Доказать, что в пространстве Lфункция А (x, у)является билинейной формой: 4.199. А (x, у) =f 1(x) f 2(y), где f 1, f 2 − линейные формы в L. В сдачах 4.218 − 4.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет: 4.218. . 4.220. . 4.222. . 4.224. . Домашнее задание: 4.193, 4.218–4.225 (неч.) 4.193. . 4.207. Доказать, что скалярное произведение (х, у)в евклидовом пространстве Eявляется билинейной формой. 4.219. . 4.221. . 4.223. . 4.225. Доказать, что квадрат длины вектора | x |2 в n- мерном евклидовом пространстве E n является положительно определенной квадратичной формой. Ответы 4.218. Положительно определенная. 4.219. Отрицательно определенная 4.220. Общего вида. 4.221. Отрицательно определенная 4.222. Положительно определенная. 4.223. Общего вида. 4.224. Положительно определенная.
|