Часть I. Линейная алгебра

Вопросы для самопроверки

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах.

Виды матриц:
1) Матрица-строка
2) Матрица-столбец:
3) Нулевая матрица
4) Квадратная матрица
5) Диагональная матрица
6) Единичная матрица

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число называется матрица, все элементы которой перемножаются на это число

Сложение матриц. Суммой матриц и одинакового размера называется матрица, элементы которой являются суммой соответствующих элементов матриц

Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности).

Транспонирование матриц. Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

2. Определители 2, 3 и n -го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу, необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.,,.

1) Определителем матицы 1-го порядка, называется элемент:; 2)Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:.
3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле: .
4) Определитель n-ого порядка .
Теорема Лапласа. Определитель n-го порядка матрицы A есть алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n множителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

Если кол-во строк равно кол-ву столбцов, то такая матрица называется квадратной

Квадратная матрица A принято называть особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю.
Квадратная матрица A принято называть неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля.

А~ - присоединенная матрица состоит из алгебраических дополнений транспонированной матрицы

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице, если при умножении этой матрицы на обратную, как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Схема вычисления обратной матрицы:

1) вычисляем определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то матрица вырожденная и обратной матрицы не сущ. Если detAне=0, то:
2) вычисляем алгебраические дополнения и составляем присоединенную матрицу А~.
3) Составляем обратную матрицу по формуле: А-1= 1/detA× А~. 4) Выполняем проверку: А-1А=Е.

4. Понятие минора k- го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Минором k-го порядка матрицы A называется определитель квадратной матрицы k-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием каких-либо m-k строк и n-k столбцов.

Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается символом rang(A) или r(A).

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Если строки (столбцы) линейно зависимые, то, умножая их элементы на некоторые числа (одновременно не равные нулю), а затем, складывая поэлементно, мы можем получить нулевую строку (столбец). В случае линейной независимости это сделать невозможно.

Теорема. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть ранг матрицы А= равен r. Тогда любые ее k базисных строк являются линейно независимыми, иначе базисный минор был бы равен нулю. С другой стороны, любые r+1 и более строк линейно зависимы. Предположив противное, мы могли бы найти минор порядка более чем r, отличный от нуля по следствию 2 предыдущей леммы. Последнее противоречит тому, что максимальный порядок миноров, отличных от нуля, равен r. Все доказанное для строк справедливо и для столбцов.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:

В матричной форме.

Решением системы уравнений называется такой упорядоченный набор (k1, k2,..., kn) чисел, при подстановке которых вместо переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса –метод послед-го исключения переменных.

Сначала(на 1-м шаге прямого хода Гаусса) из всех уравнений, кроме 1-го исключается переменная х1.
Потом (на 2 шаге) из всех уравнений, кроме первых 2-х исключается переменная х2 и т.д., пока последнее уравнение не приобретёт вид:
С * Хn=bm, если число С=0, а bm не=0, то система не совместная, т.е.нет решений.
Если С=0 и bm=0, т.е. 0*Хn=0, то система неопределённая, т.е. имеет бесконечно много решений, то система совместно-определённая. В этом сл-е Хn=bn/C

Полученное значение Хn подставляем в предпоследнее уравнение, находим Хn-1и тд., пока не получатся все неизвестные.

Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее, начиная с конца находим все переменные. Допустим Х4. Подставляем в верхнее и нах-м Х3 и т.д.

Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.

Система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠ rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Если rangA≠ rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).

Если rangA=rangA˜ < n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Если rangA=rangA˜ =n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

Что означает фраза " ранг матрицы равен r"? Она означает, что есть хотя бы один минор r-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше r, равны нулю или не существуют.

Если коэффициенты при r переменных совместной СЛАУ(система линейных алгебраических уравнений) образуют базисный минор матрицы системы A, то эти r переменных называют базисными или основными. Остальные n− r переменных именуют свободными или неосновными.

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.