Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

Квадратичной формой L (x ₁, x ₂, …, x _n)от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных x _i× x _j, взятых с некоторым действительным коэффициентом a _ij, (причем a _ij = a _ji):

.

Матрицей квадратичной формы L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется матрица, составленная из коэффициентов a _ij:

.

Отметим, что в силу условия a _ij= a _ji, она является симметрической.

Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных.

Матричной записью квадратичной формы L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется запись L = X¢ AX, где X =(x ₁, x ₂, …, x _n)¢ - матрица столбец переменных.

Следовательно, .

Рангом квадратичной формы L (x ₁, x ₂, …, x _n) от n переменных называется ранг матрицы квадратичной формы.