Теорема Остроградського-Гауса та її застосування

Напруженість електростатичного поля зручно представити через густину силових ліній, що пронизують елементарну ділянку поверхні, розміщену перпендикулярно до цих ліній (рис.2.6).

Рис. 6.

З останнього рівняння випливає:

(2.18)

Величину вектора dФ _Еназивають потоком вектора напруженості через елементарну площадку dS. З рівняння (2.8) випливає, що потік вектора напруженості Ф _Е через поверхню S дорівнює:

Ф _Е = (2. 19)

Згідно з теоремою Остроградського-Гауса, потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню S дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які обмежені цією поверхнею (Рис.2.7), поділеній на електричну постійну e₀:

Теорема Остроградського – Гауса використовується для розрахунку електростатичних полів, створених зарядженими тілами найрізноманітніших конфігурацій.

(2.20)

Розглянемо для прикладу, розрахунок електростатичного поля, створеного нескінченно довгим, рівномірно зарядженим циліндром з радіусом R і з лінійною густиною електричних зарядів (рис.2.8).

В ролі замкненої поверхні, що оточує цей циліндр, візьмемо коаксіальний циліндр радіусом r і висотою h. Повний потік вектора напруженості буде дорівнювати потоку тільки через бічну поверхню замкнутого циліндра, оскільки силові лінії електричного поля не перетинають площі основ цього циліндра (рис. 2.8).

. (2.21)

Враховуючи, що в нашому випадку E_n = E а отримаємо , або . Звідси

. (2.22)

Різниця потенціалів між двома точками, які знаходяться в одній площині на відстанях r₁ i r₂ від осі зарядженого циліндра, з (2.11):

. (2.23).