Вычисление площадей плоских фигур

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс, равна определённому интегралу от функции : . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то площадь такой трапеции вычисляется по формуле: .

Пусть фигура ограничена графиками функций , и прямыми x = a, x = b.

Тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле: .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём точки пересечения параболы с осью Ох: , , , . Уравнение прямой запишем в виде . Изобразим эти линии в системе координат и вычислим площадь заштрихованной фигуры.

Найдём абсциссы точек пересечения линий: , , , . Тогда площадь заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

Пример 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями , , х =0, х =1.

Решение. Изобразим в системе координат плоскую фигуру, ограниченную заданными линиями.

Полученная плоская фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции , а сбоку прямыми х =0 и х =1. Объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Ох, вычисляется по формуле . В нашем случае

= (куб. ед).