Интегрирование рациональных и иррациональных функций

Функция вида называется рациональной дробью, если её числитель и знаменатель являются многочленами. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если же степень числителя больше либо равна степени знаменателя, то рациональная дробь называется неправильной.

Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби. Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример 1.14. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Разделим числитель на знаменатель (деление многочленов) и получим = .

Дроби вида , , называются простейшими рациональными дробями. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Пример 1. Разложить правильную дробь на простейшие.

Решение. Для разложения дроби на простейшие используем метод неопределённых коэффициентов: =

= . Начальная дробь равна конечной и знаменатели у них одинаковы. Следовательно, должны быть равными и числители: Решая данную систему уравнений, найдём: . Тогда разложение дроби на простейшие имеет вид: = .

При интегрировании простейших рациональных дробей можно использовать формулы:

;

=

= ;

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы многочлена и правильной дроби, предварительно разделив числитель на знаменатель: . Разложим полученную правильную рациональную дробь на простейшие. Для этого вначале знаменатель разложим на множители: , , , . Тогда =

= =

. Так как , то

Решив данную систему, найдём . Тогда = . Подставим в подынтегральную функцию: =

= .

Если подынтегральная функция иррациональна, то с помощью замены переменной во многих случаях можно привести её к рациональному виду или к такой функции, интеграл от которой является табличным. Интегрирование при помощи замены переменной, которая приводит подынтегральное выражение к рациональному виду, называется интегрированием посредством рационализации подынтегрального выражения.

Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел .

Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки .

Пример3. Найти интеграл .

Решение. Показателями степеней корней являются числа 3 и 2. Их наименьшее общее кратное равно 6. Поэтому применим подстановку . Тогда . В результате = . В подынтегральной функции выделим целую часть:

+

= . Тогда =

= =

={подставим вместо t }=

= .