💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Метод подстановки

В основе метода интегрирования подстановкой лежит следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть функции и определены на не­которых промежутках и имеет смысл сложная функция ; если функция имеет первообразную , а функция дифферен­цируема, то функция также имеет первообразную и

. (9)

Доказательство.

Поскольку функция определена на том же промежутке, что и функция , то сложная функция также имеет смысл. По правилу дифференцирования сложной функ­ции получаем

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем исходное выражение (9).

Выражение (9) также может быть записано в виде

(10)

или

. (11)

Пример 7. В качестве примера вычислим еще раз интеграл . Воспользуемся заменой переменных . Тогда . Подставляя данные значения в рассматриваемый интеграл, имеем

Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. представим дифференциал в виде . Тогда

.

Учитывая также

,

получим выражение для искомого интеграла

.

Обязательным этапом является возврат к старым переменным. Из равенства следует и

.

Тогда

.