Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования является простейшим методом вычисления неопределенного интеграла. Он основан на использовании тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла, за счет чего данный интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

В качестве примера вычислим интеграл . Используя свойства неопределенного интеграла, получим

.

Вычисляя далее каждый из записанных интегралов, имеем

.

Если первообразная некоторой функции является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается через элементарные функции, или что этот интеграл вычисляется (или берется).

Другой разновидностью метода непосредственного интегрирования является прием внесения функции под знак дифференциала. Некоторые авторы относят данный прием к методу подстановки. Здесь используются следующие свойства дифференциалов:

, ;

, , ;

;

;

;

;

и т.д.

Рассмотрим этот метод на примерах:

Пример 1. Вычислим интеграл . Для этого под знаком дифференциала необходимо получить выражение . Воспользуемся свойством дифференциала:

и, выполняя далее интегрирование, находим

.

Пример 2. Для вычисления интеграла удобно получить под знаком дифференциала выражение . Для этого, учитывая свойства дифференциала, запишем

.

Тогда

.

При вычислении интегралов вида можно записать , откуда:

.

Пример 3. ,

.