Решение. Ступенчатой матрице соответствует система

Ступенчатой матрице соответствует система

Перенесем неизвестное в правую часть уравнений:

Неизвестное называется свободным, а – базисными. Возникает промежуточный вопрос: какие неизвестные считать базисными, а какие свободными В нашем примере свободными неизвестными можно было бы посчитать и , тогда система после перенесения свободного неизвестного в правую часть приняла бы вид:

Обязательное условие здесь одно: у получившейся системы (после переноса свободных неизвестных в правую часть) главный определитель должен быть не равен нулю. Поэтому обычно руководствуются правилом: в ступенчатой матрице выделяют так называемый левый минор, составленный из тех столбцов, в которых стоят левые ненулевые элементы ступенчатой матрицы. Он всегда не равен нулю. Соответствующие неизвестные будут базисными, остальные свободными.

Например, пусть

.

Левые ненулевые элементы выделены кружками, тогда базисными неизвестными будут , остальные свободными и СЛАУ запишется в виде:

В нашем примере левый минор дает первый вариант: - базисные неизвестные, - свободное. Итак, получили систему

Эту систему можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными . Поскольку определитель системы не равен нулю, то ее можно решить любым способом. Впрочем, система решается просто, снизу вверх: из второго уравнения Подставив это выражение в первое уравнение, получим

Таким образом, в этом случае система имеет бесчисленное множество решений: – любое число, т.е. бесчисленное множество троек чисел , – любое число.

Например, пусть и получаем решение . Пусть , тогда и получаем еще одно решение

(1, -2, 3) и т.д. до бесконечности.

Заметим, что как и в примере 1 ступенчатую матрицу можно продолжать преобразовывать так, чтобы базисные коэффициенты образовали единичную матрицу: нулевую строку не пишем; а свободные неизвестные переносим за черту с обратным знаком:

т.е. получаем решение:

– любое число.

Подводя итог рассмотренным трем примерам, получаем следующие результаты: в примере 1 – система имеет единственное решение; в примере 2 – система не имеет решений; в примере 3 – система имеет бесчисленное множество решений. При этом на примерах мы могли видеть почему получаются такие результаты. Оказывается, что и в общем случае полученные результаты справедливы, а именно справедлива

Теорема Кронекера – Капелли: Для того чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы. При этом, если ранги равны числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Схематично теорему Кронекера – Капелли можно изобразить так:

- единственное решение,

– бесчисленное множество решений,

- система решений не имеет.

Если вернуться к частному случаю, когда число уравнений равно числу неизвестных, то случай означает, что главный определитель системы не равен нулю. В двух других случаях главный определитель системы равен нулю.

Для таких систем, следовательно, можно сформулировать правило: для того, чтобы такая СЛАУ имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля.

Особый интерес представляют однородные СЛАУ (ОСЛАУ). Во – первых, ясно, что ОСЛАУ всегда совместны – уж нулевое – то решение они обязательно имеют. Вопрос состоит в том, чтобы выяснить – единственное это решение или есть и ненулевые. В общем случае вновь вопрос решает теорема Кронекера – Капелли. Если число уравнений равно числу неизвестных, то теорему можно сформулировать проще: для того, чтобы ОСЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.