Устойчивость плоской формы изгиба балок

Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внешней нагрузки и выпучиться в сторону (рис. 9.51). При этом поперечное сечение балки повернётся, т.е. балка будет испытывать изгиб с кручением.

Рассмотрим свободно опёртую балку длиной , изгибаемую по концам моментом (рис. 9.51, а). В докритическом состоянии дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид:

(9.162)

Интегрируя дважды, получим:

Рис. 9.49

Так как при , прогиб , то и потому

Максимальное значение прогиба:

На рис. 9.50 показан график зависимости от значений момента .

Кружочек отвечает моменту появления пластических деформаций (пределу пропорциональности ), сплошной кружочек – предельному моменту , при котором происходит образование пластического шарнира и исчерпание несущей способности балки, тонкая линия соответствует упругопластическому поведению балки.

Если сечение балки узкое (высокое), как у полосы или двутавра (рис. 9.47), то при некотором критическом значении изгибающего момента произойдет бифуркация решения, и балка получит боковое выпучивание с закручиванием.

Рис. 9.50

Пусть угол характеризует наклон изогнутой оси балки в плоскости при боковом отклонении, а - угол закручивания в некотором произвольном сечении . Представим момент в сечении в виде вектора по правилу правого винта (буравчика). Тогда, проецируя на оси , , , отнесённые к сечению (рис. 9.51, г), получим:

Следовательно, дифференциальные уравнения изгиба и кручения принимают вид

где учтена малость величин , , , .

Для прямоугольника:

Первое уравнение совпадает с (9.162) и описывает докритический изгиб после точки бифуркации .

Дифференцируя третье уравнение по и исключая с помощью второго уравнения производную получаем:

(9.163)

где

(9.164)

Общее решение уравнения (9.163) имеет вид

(9.165)

Удовлетворяя (9.165) граничным условиям:

при

получим (9.166)

Если положим в (9.166) , то получим тривиальное решение, при котором балка не получает бокового выпучивания. Если то откуда и, согласно (9.159), находим:

Более трудным оказывается решение задач о плоской форме изгиба при поперечном изгибе. Так, для консольной балки, нагруженной поперечной силой, имеем:

При изгибе шарнирно опёртой балки длиной силой Р, приложенной посередине пролёта, имеем:

а при действии распределённой нагрузки :