Продольно-поперечный изгиб упругого стержня

Рассмотрим упругий стержень постоянного поперечного сечения, сжатый силами (рис. 9.40, а). Отсечём от стержня часть его длиной (рис. 9.40, б). Уравнения его равновесия имеют вид

(9.102)

С другой стороны, изгибающий момент в поперечном сечении выражается через кривизну по формуле (9.21):

(9.103)

Приравнивая отмеченные выше выражения моментов (9.102), (9.103) получим:

а) б)

Рис. 9.40

Дифференцируя полученное уравнение два раза по , последовательно находим:

(9.104)

Введём обозначение

Тогда уравнение (9.104) примет вид

(9.105)

Общее решение (9.100) имеет вид

(9.106)

где для частное решение имеет вид

Удовлетворяя решение (9.106) граничным условиям шарнирного опирания балки:

приходим к системе уравнений

откуда находим постоянные интегрирования:

В результате общее решение задачи (9.101) принимает вид

При получаем максимальное значение прогиба:

(9.107)

где или

При из (9.107) следует, что , а

Если на балку действует только поперечная нагрузка , то (). Обозначим прогиб от поперечной нагрузки через . Тогда из (9.105) следует:

(9.108)

Уравнение (9.105) на основании (9.108) принимает вид:

(9.109)

В уравнении (9.104) прогиб можно трактовать так же, как начальный технологический прогиб. Для изгибающего момента имеем выражение:

Рассмотрим снова случай шарнирного опирания стержня по краям. Тогда при имеем:

Представим общее решение уравнения (9.107) и начальный прогиб (либо прогиб от поперечной нагрузки) в виде рядов Фурье:

Подставляя в (9.107) вместо , эти выражения, находим уравнение:

которое удовлетворится, если все фигурные скобки обращаются в нуль.

Это приводит к формуле:

(9.110)

где

эйлеровы нагрузки бифуркации.

Прогиб в середине стержня при равен:

При , согласно (9.110), имеем т.е. неограниченно увеличиваются перемещения от изгиба по одной полуволне. Все же другие формы остаются ограниченными. Следовательно, выпучивание шарнирно опёртого стержня по одной полуволне есть главная форма изгиба. Среди множества искривлений оси стержня можно учитывать лишь начальный прогиб по одной полуволне синусоиды. Это весьма важный для практических расчётов качественный результат, который следует учитывать при расчётах на устойчивость элементов конструкций.

Максимальный прогиб может быть приближённо принят равным:

Согласно принятому критерию устойчивости сила

должна быть принята за предел устойчивости или критическую, так как при

Аналогичный результат можно получить для иных видов закрепления концов стержня.