Постановка задачи. Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер.

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений x_i, y_i (i =1, 2, …, n), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 5.1

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= j (х), значения которой при x=x_i, возможно мало отличалось бы от опытных данных y_i, (i =1,.., n). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y= j (х) на отрезке [ x ₁, x_n ]:

f(x) @ j (х). (5.9)

Аппроксимирующая функция y= j (х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР).

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной, если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

• просчитать значение y для любого (интерполяция);

• сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка (экстраполяция);

• выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: y= j (х) «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек M_i (x_i, y_i), i= 1, 2 ,.., n, заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Рис. 5.2. Геометрический смысл задачи

среднеквадратичного приближения

При нахождении уравнения регрессии интерполяционный подход заведомо является неудачным, т.к. не требуется, чтобы значения аппроксимирующей функции у= j (x) совпадали с экспериментальными значениями y_i. Достаточно, чтобы разность их [j (x_i)-y_i ], i= 1, 2 ,.., n была мала в известном смысле.

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1. выбора общего вида уравнения регрессии,

2. определения его параметров.

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс или явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином (многочлен):

Вторая задача, нахождение параметров уравнения регрессии решается регулярными методами, например, методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами известных математиков прошлого – К.Гаусса и А.Лежандра.