Постановка задачи интерполирования

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем [3, 6]. На отрезке [a, b] заданы n+1 точек x₀, x₁, …, x_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции у=f(x) в этих узлах: y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), …, y_n=f(x_n). Требуется построить функцию j(х) (интерполирующую функцию), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и функция f(x), т.е.

j (х ₀ )=y ₀, j (х ₁ )=y ₁ ,, j (х_n)=y_n.. (5.2)

Рис.5.1. Геометрический смысл задачи интерполирования.

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции взять многочлен P_n(х) степени не выше n, удовлетворяющий условиям:

P_n(x ₀ )=y ₀ , P_n(x ₁ )= y ₁, …, P_n(x_n)=y_n (5.3)

Интерполяционную формулу

f(x) @ P_n(х) (5.4)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции у=f(x) в точках х Î [ х ₀, х_n ], отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции. С другой стороны, имея интерполяционную зависимость (5.4) можно сделать прогноз о поведении функции у=f(x) вне отрезка [ a, b ], это уже называется экстраполяцией.

Таким образом, под интерполяцией понимается нахождение приближенных промежуточных значений таблично заданной функции строго внутри таблицы, тогда как экстраполяция – нахождение приближенных значений функции за пределами промежутка [ x ₀, x_n ].

G Понятие интерполирование и экстраполирование становятся очевидными, зная их латинское происхождение: inter – между, extra – вне, polire – делать гладкими.