Тригонометрические функции

Тригонометрические функции угла a определяются с помощью тригонометрического круга радиуса r=1, а также из прямоугольного треугольника (для острых углов) (рис. 1).

Углы измеряются в градусах (0°£ a£ 360°) (каждый градус состоит из 60' (минут), каждая минута из 60''(секунд)), или в радианах (0£ a£ 2p). Полный угол состоит из 1296000''. При измерении угла в градусах, минутах, секундах возможное значение величины угла – рациональное число m/n, где n=1296000, а m – номер ближайшей секунды. Измерение углов в радианах - это фактически отождествление угла с дугой окружности единичного радиуса, на которую он опирается, т.е. величина угла может принимать любое значение, а не одно из 1296000 возможных. Угол в один радиан - это угол, который стягивается дугой, длина которой равна радиусу окружности. Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Обозначение для этого коэффициента пропорциональности - p. Длина окружности единичного радиуса равна 2p. Тем самым, величина полного угла в радианах тоже равна 2p. Переход на радианы позволяет указывать величину угла с помощью линейной меры. Если прокатить колесо единичного радиуса по земле на один оборот, то след от колеса будет иметь длину 2p. Этот отрезок и будет соответствовать полному углу 2p радиан. Таким образом, можно сказать, что в градусах, минутах, секундах можно задавать " рациональные" значения углов, а в радианах - любые. Для практических целей обычно вполне хватает указания величины угла в градусах, минутах, секундах, это и удобнее, а в аналитических формулах в качестве аргумента используется значение угла, заданное в радианах.

В качестве иллюстрации приведем построение графика синуса (рис. 2а). График строится на отрезке, длина которого равна длине окружности единичного радиуса, т.е. 2π. Для того, чтобы построить 12 опорных точек графика, окружность и горизонтальный отрезок длины 2π делим на 12 равных частей. Значение синуса угла равно длине полухорды. Откладываем по вертикали длины соответствующих полухорд.

На рисунке 3 показано, как из свойств равностороннего треугольника (рис 3а) и равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 3б) с помощью теоремы Пифагора получить значения тригонометрических функций для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Таблица значений тригонометрических

функций для углов 0º, 30º, 45º, 60º 90º

градусы х радианы х		p/6	p/4	p/3	p/4
sin x
cos x
tg x					¥
ctg x	¥

Пересчет градусной меры в радианную производится с помощью пропорции . Длина дуги l окружности радиуса r, опирающейся на центральный угол a, равна (рис. 2б).

Формула показывает, что длина дуги пропорциональна радиусу. В силу этого можно сказать, что угол в один радиан стягивается дугой, длина которой равна радиусу окружности. Величина центрального угла не зависит от радиуса.

p=3, 1415926, 1радиан=57°17, 5', arc1°=2π /360=0, 01745, 1/p=0, 31831