Пример решения задач. Задача 1.Было произведено 15 наблюдений за СВ Х = {напряжение в электрической сети дома}

Задача 1.Было произведено 15 наблюдений за СВ Х = {напряжение в электрической сети дома}. На основании полученных данных было вычислено выборочное среднее 221, 1 В. Проверить гипотезу о равенстве среднего значения СВ Х 220 В при уровне значимости 0, 05. Решить задачу для каждого из следующих условий:

1. точное значение СКО известно и равно 2 В;

2.точное значение СКО неизвестно, но выборочное СКО получилось равным 2 В.

Решение. Для обоих случаев примем гипотезы и . Первое условие предполагает решение по плану из разд. 5.

Находим наблюдаемое значение критерия:

Для величины имеем равенство:

Из прил. 2 находим . Так как , то основная гипотеза отвергается.

Решим теперь задачу при неизвестном точном значении СКО. Находим наблюдаемое значение критерия

Критическая точка находится из прил. 4 при и . Имеем . Так как , то основная гипотеза принимается.

Ответ: в первом случае доказано, что напряжение в сети не равно 220 В, во втором случае напряжение в среднем равно 220 В.

Комментарий к задаче. Решенная задача показывает, что информация о точном значении СКО существенно влияет на принятие (отвержение) гипотезы. В первом случае гипотетическое значение среднего сильно противоречит известному СКО, и поэтому основная гипотеза отвергается. Во втором случае значение СКО неизвестно и основной гипотезе просто нечему противоречить. На основании сказанного можно сделать важный вывод: чем меньше информации о СВ дано в задаче, тем больше шансов у основной гипотезы быть принятой, однако при этом возрастает вероятность допустить ошибку второго рода.

Решим подобную задачу при другом выборе конкурирующей гипотезы.

Задача2. Лаборатория оборудована приборами, точность которых существенно зависит от повышения величины среднего напряжения в электросети. Было произведено 15 наблюдений за СВ Х = {напряжение в электрической сети}. На основании полученных данных было вычислено выборочное среднее 221, 1 В и выборочное СКО 2 В. Проверить гипотезу о равенстве среднего значения СВ Х 220 В при уровне значимости 0, 05.

Решение. Пусть , но в качестве конкурирующей гипотезы возьмем , поскольку в данной задаче только она имеет практический смысл {из-за повышенного напряжения приборы будут работать неточно}.

Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

Критическая точка определяется из прил. 4 при 15-1=14и , взятого из нижней строки таблицы. Имеем 1, 76. Так как , то основная гипотеза отвергается.

Ответ: измерения напряжения показывают, что оно превышает допустимое для лабораторных приборов.

Комментарий к задаче. Разобранные выше две задачи показывают, что принятие (отвержение) основной гипотезы существенно зависит от выбора конкурирующей гипотезы. Попробуем разобраться, почему принимается при и отвергается при . Дело в том, что вторая из двух конкурирующих гипотез более сильная (она содержит более конкретные сведения о величине ) и поэтому «побеждает» основную гипотезу.

7. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СТАНДАРТНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ

КОТОРЫХ ИЗВЕСТНЫ (СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК)

Постановка задачи. Имеется выборка значений нормальных СВ Х и Y объемов n и m соответственно (). Средние значения СВ X, Y обозначим через соответственно. Необходимо проверить основную гипотезу при заданном уровне значимости . СКО случайных величин X, Y известны и равны соответственно.

Комментарий к постановке задачи. По выборке можно вычислить выборочные средние . Почти наверняка числа будут различны. Очевидно, что для принятия основной гипотезы необходимо, чтобы расстояние между числами было небольшим. Смысл задачи заключается в том, чтобы при заданном уровне значимости рассчитать момент, когда различием чисел можно пренебречь.

План решения. Вычисляемвыборочные средние . Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле:

(5)

Критическая точка критерия зависит от выбранной конкурирующей гипотезы.

1. Если , то определяется из условия , где значения функции приведены в прил. 2. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.

2. Если , то находится из условия , где значения функции приведены в прил. 2. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.

3. Если , то находится в соответствии с правилами п. 2. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.