Лабораторна робота №4. Мета: вивчити основні аксіоми, закони і теореми теорії множин, навчитися застосовувати їх на практиці.

Тема: «Теорія множин».

Мета: вивчити основні аксіоми, закони і теореми теорії множин, навчитися застосовувати їх на практиці.

Завдання: написати програму, яка буде виконувати будь-які операції над множинами.

Теоретичні основи:

Множина – усяка сукупність визначених елементів, які можуть бути зв'язаними між собою за допомогою деякої властивості.

Множини позначаються великими латинськими буквами. Об'єкти, що складають множини, називаються елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту.

Кінцева множина – це така множина, кількість елементів якої може бути виражена кінцевим числом, причому не важливо, чи можемо ми порахувати це число в даний момент.

Нескінченна множина - це така множина, що не є кінцевою.

Множина може задаватися у кілька способів.

Кінцеву множину можливо задати переліком її елементів.

Нескінченну множину можливо задати вказівкою характерної властивості.

Приклад

A={x: x*x-1=0}

B={x1, x2, x3, x4}

Основні аксіоми теорії множин:

1. Аксіома існування – завжди існує хоча б одна множина;

2. Аксіома еквівалентності – якщо множини А та В складаються з тих самих елементів;

3. Аксіома об'єднання – для двох довільних множин А та В існує множина С, елементами якої є кожен елемент, що утримується в одній з цих двох множин або в обох одночасно;

4. Аксіома перетинання – для двох довільних множин А та В існує множина С, елементами якої є кожен елемент, що одночасно належить і множині А і множині В;

5. Аксіома про універсальну множину – для довільної групи множин
Ai-тих завжди існує множина I, для якої виконується співвідношення
Ai I

6. Аксіома про порожню множину – завжди існує множина, якій не належить жоден елемент.

Виходячи з основних аксіом, визначені додаткові операції над множинами:

- Доповнення множини – для довільної множини М існує доповнення до універсальної множини і позначається це доповнення М:

М М=I

M M=Ǿ

- Різниця між множинами – для довільної множини А и В існує множина С, яка включає такі елементи першої множини, які не співпадають з елементами другої множини:

С=А\В=А В

С=В\А=В А

- Симетрична різниця між множинами –

С=АΔ В= А\В В\А

Варіанти завдань приведені в таблиці 3 додатку.

Блок схеми основних операцій над множинами наведено на рисунках 4-7.

Вимоги до програмного забезпечення:

1. Модульна структура програми;

2. Уведення даних із клавіатури і з зовнішнього файлу;

3. Перевірка коректності введених даних;

4. Меню.

Зміст звіту:

1. Титульний лист;

2. Тема завдання;

3. Завдання;

4. Блок-схема алгоритму;

5. Роздруківка тексту програми;

6. Роздруківка результатів виконання програми;

7. Аналіз результатів.

Контрольні питання.

1. Що така множина?

2. Аксіоматична побудова теорії множин.

3. Діаграми Ейлера.