Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале , т.е. при всех x, удовлетворяющих условию .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию теоремы в точке степенной ряд сходится. Общий членсходящегосячислового ряда , в силу необходимого признака, стремится к нулю: , поэтому все члены ряда ограничены некоторым числом : . То есть

.

Представим степенной ряд в виде

и составим ряд из абсолютных величин его членов:

.

Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии: . Этот ряд сходится, если и знаменатель прогрессии

В силу неравенств , члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по первому признаку сравнения, ряд также сходится.

Мы показали, что при любом из интервала степенной ряд сходится, значит, ряд внутри этого интервала сходится абсолютно.

Следствие. Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится при любом x, по модулю, большем, чем b, т.е. если

Таким образом, можно сказать, что для любого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех x, по модулю меньших R ( ), ряд сходится абсолютно, а для всех x, по модулю больших R(), ряд расходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Радиусом сходимости степенного ряда называют такое число R, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание. Для степенного ряда областью сходимости служит интервал симметричный относительно точки .

На границах интервала сходимости, в точках степенной ряд может вести себя различным образом.

ПРИМЕР. Найти интервал и область сходимости степенного ряда

.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин .

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Даламбера: ,

.

Найдем значения , при которых этот предел будет меньше единицы, т.е. решим неравенство . Умножим обе части неравенства на 3: и запишем полученное неравенство в виде двойного неравенства: . Интервал симметричен относительно точки , а радиус сходимости

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. В точке получим ряд с положительными членами

.

Это обобщенный гармонический ряд, который, как мы знаем, расходится ().

В точке получим знакочередующийся ряд

.

Его сходимость обсуждалась выше, было доказано что ряд сходится условно.

Окончательно, областью сходимости степенного ряда является промежуток , причем, если ряд сходится условно. Радиус сходимости степенного ряда равен

ПРИМЕР. Найти интервал сходимости ряда .

РЕШЕНИЕ

Общий член ряда имеет вид , тогда .

Составим ряд из абсолютных величин и применим к нему признак Даламбера: .

После сокращения на множители и и вынесения за знак предела множителя , не зависящего от n, выражение примет вид:

.

Таким образом, предел равен нулю при любом x, т.е. по признаку Даламбера областью сходимости этого ряда является вся числовая ось.