Первый признак сравнения

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство: , то из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1), или из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не изменяет его поведение, можно считать, что при всех значениях . Обозначим через - частичную сумму ряда (1), а через - частичную сумму ряда (2). Будем иметь: .

1). Пусть ряд сходится , тогда его частичные суммы ограничены суммой ряда . В силу предыдущего неравенства

.

Т.к. все члены ряда (1) неотрицательны, то последовательность его частичных сумм является монотонно возрастающей и ограниченной сверху . Известно, что такая последовательность имеет конечный предел . Это означает, что ряд (1) сходится.

2). Пусть ряд расходится. Тогда его частичные суммы неограниченно возрастают, т.е. . Мы показали, что поэтому и . Ряд (2) также расходится.

Для решения примеров удобнее применять второй признак сравнения.