Точечный заряд и проводящая плоскость

Метод изображений в электростатике

1. Bведение

2. Точечный заряд и проводящая плоскость

3. Точечный заряд и проводящая сфера

4. Точечный заряд вблизи границы раздела двух диэлектриков

5. Точечный заряд и проводящие плоскости, образующие двугранный угол

6. Литература

Точечный заряд и проводящая плоскость

Пусть точечный заряд + q находится на расстоянии a от бесконечной проводящей, например, металлической плоскости с нулевым потенциалом (рис. 1). Какая сила действует на него?

Рис. 1

По индукции заряд + q будет наводить заряд противоположного знака на поверхности. Откуда возьмутся заряды, создающие у поверхности отрицательный заряд? Это свободные заряды (в металлах - электроны), притянутые положительным зарядом с каких-то далеких областей плоскости, либо, пришедшие из земли, если поверхность заземлена. Суммарный индуцированный заряд равен - q и будет каким-то образом распределен по поверхности. Но как именно? Ответить на этот вопрос мы пока можем лишь качественно - примерно так, как это делалось во введении.

На точечный заряд + q cо стороны поверхности действует сила притяжения к поверхности (так как наведенные заряды отрицательны). Величина силы притяжения не равна kq ²/ a ², поскольку отрицательный заряд не сосредоточен в одной точке, а распределен по плоскости. Поэтому значение силы меньше, чем величина kq ²/ a ². Здесь k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерений физических величин, в СИ k = 9·10⁹ Н м²/Кл².

Попытаемся нарисовать картину силовых линий электростатического поля заряда + q и поверхности с наведенным на ней зарядом - q. Поверхность проводника эквипотенциальна, что означает, что все точки этой поверхности имеют равный потенциал (в нашем случае потенциал поверхности равен нулю). Силовые линии поля перпендикулярны поверхности (cоставляющая электрического поля, параллельная поверхности, вызовет движение зарядов в проводнике, которое прекратится лишь тогда, когда эта составляющая поля в проводнике будет полностью скомпенсирована полем, создаваемым индуцированными зарядами). Вблизи точечного заряда картина силовых линий близка к той, которую мы имеем для одиночного заряда. Силовые линии начинаются на заряде + q, поскольку он положительный. Таким образом имеем картину силовых линий, которая изображена на рис. 2.

Рис. 2

Здесь пунктирными линиями изображены эквипотенциальные поверхности, они перпендикулярны силовым линиям в точке пересечения.

А теперь давайте вспомним и изобразим картину силовых линий двух одинаковых по величине и противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на расстоянии 2а (рис. 3).

Рис. 3

Закройте нижнюю половину рис. 3 и сравните ее с рис. 2. Не правда ли, очень похоже! К тому же в случае двух точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей - плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему заряды и делящая его пополам, то есть она расположена там же, где металлическая плоскость. Потенциал любой точки этой плоскости равен нулю. В обоих случаях поле вблизи заряда + q одно и то же. А поскольку поле одно и то же, то и силы, действующие на заряд + q в обоих случаях одинаковы. Таким образом, искомая сила равна F = k q ² / 4 a ².

Задача решена, сила определена. Но ведь мы схитрили! Мы не решали задачу о заряде и поверхности, а мы решили другую задачу - о двух точечных зарядах, подобрав величину и положение заряда - q, который является зарядом-изображением, таким образом, чтобы поле в области между зарядом + q и поверхностью в обеих задачах было одинаковым.

Вернемся теперь к рис. 2 и 3 и предположим, что все полупространство ниже проводящей плоскости занято проводником. В области вне проводника, где находится заряд + q ничего не изменилось, электростатическое поле там осталось таким же, что и раньше. Причем здесь поле заряда + q и проводника совпадает с полем системы заряда + q и заряда-изображения - q. А в той области пространства, где находится проводник в том случае, если мы рассматриваем задачу со сплошным проводником и зарядом, поле равно нулю, а в задаче с зарядом и его изображением поле нулю не равно. Но нас интересует только та область, где поля совпадают, так как мы хотим поле определить именно там. Предположим теперь, что мы изготовили очень тонкую поверхность из металла так, что ее форма в точности совпадает с формой какой-либо эквипотенциальной поверхности, например MN (рис. 4).

Рис. 4

Если теперь эту металлическую поверхность поместить на место эквипотенциальной и создать на ней нужный потенциал, то опять же ничего не изменится. Точечный заряд находится точно в таком же поле, что и раньше, на него действует точно такая же сила, что и без изогнутого проводника. Но теперь мы имеем уже новую задачу - не о двух точечных зарядах, а о заряде и металлической поверхности заданного потенциала. Эта поверхность должна быть замкнутой. Внутри нее поле равно нулю, а вне такое же, как у системы двух точечных зарядов. Даже если внутреннее пространство поверхности мы заполним проводником, не меняя при этом ее потенциал, то поле вне проводника снова останется прежним.

Таким образом мы получаем еще одно применение метода изображений - определение полей проводящих поверхностей различной формы. В специальных книгах по электростатике можно найти множество подобных расчетов для различных поверхностей - гиперболоидов, параболоидов и других поверхностей очень хитрой формы. Все подобные задачи решаются " задом наперед". Сначала решается задача о нахождении электрического поля системы точечных зарядов, а затем определяется форма и потенциал какой-либо эквипотенциальной поверхности. Если теперь на место этой эквипотенциальной поверхности поместить проводящую поверхность такого же потенциала, а все заряды, находящиеся внутри нее, убрать, то поле вне ее останется таким же, как у первоначальной системы зарядов.