Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Точечный заряд вблизи границы раздела двух диэлектриков
Пусть точечный заряд + q находится на расстоянии а от плоской границы двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями e1 и e2(рис. 10). Рис. 10 Определим силу, действующую на заряд, и потенциал электрического поля методом изображений. Допустим, что заряд-изображение имеет величину q ¢ и расположен на расстоянии a снизу от поверхности М N, разделяющей диэлектрики (рис. 11), так как именно там будет находиться изображение светящейся точки q в плоском зеркале MN. Рис. 11 Величину заряда-изображения можно найти из граничных условий для нормальной (перпендикулярной границе) и тангенциальной (параллельной границе) составляющих вектора напряженности электростатического поля. На границе раздела двух диэлектрических сред нормальная составляющая поля подчиняется условию e1 En 1 = e2 En 2, где En 1 и En 2 - нормальные составляющие поля в диэлектриках с проницаемостями e1 и e2, соответственно. Тангенциальная составляющая поля при переходе из среды с диэлектрического проницаемостью e1в среду с диэлектрической проницаемостью e2 остается неизменной, то есть E t1 = E t2. Подробнее о граничных условиях на границе раздела двух сред поговорим в конце задачи. Найдем нормальную и тангенциальную составляющие вектора напряженности электрического поля в точке А, расположенной на границе раздела диэлектриков, En 1 = E 1 cos a1, En 2 = E 2 cos a2, E t1 = E 1 sin a1, E t2 = E 2 sin a2, где a1 и a2 - углы, которые составляют вектора напряженности в первой и во второй средах соответственно. Отсюда легко получить соотношение tg a1/tg a2 =e1/e2, которое потребуется нам в дальнейшем. Если бы не было среды с проницаемостью e2, то в точке A напряженность поля была бы равна E 1 и ее создавал бы один заряд + q. Но поскольку вторая среда присутствует, то напряженность поля равна вектору E 2 и составляет с перпендикуляром угол a2. Если дело происходит в вакууме, то это возможно в случае, когда в точке B находится заряд q ¢, создающий в точке A поле, напряженность которого обозначим E ¢. Ясно, что E ¢ удовлетворяет равенству
Анализ граничных условий приводит к выводу: если e1 > e2, то a1 > a2, и в точке B должен находиться отрицательный заряд (рис. 12); Рис. 12 если же e1 < e2, то a1 < a2 и в точку B должен быть помещен положительный заряд (рис. 13). Рис. 13 Разберем случай e1 > e2. Спроецировав левую и правую части уравнения
на горизонтальное и вертикальное направления, получим E 1 sin a1- E ¢ sin a1 = E 2 sin a2 и E 1 cos a1- E ¢ cos a1 = E 2 cos a2. Используя граничные условия и поделив первое уравнение на второе, имеем
Модуль вектора напряженности поля, которое создает в точке A заряд + q определяется его величиной и расстоянием r до точки A: E 1 = kq / r. Заряд q ¢ в точке A создает поле, модуль вектора напряженности которого E ¢ = k | q ¢ |/ r. Тогда для определения величины заряда q ¢ имеем уравнение
Отсюда определяем модуль заряда q ¢
Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона
Потенциал произвольной точки C, расстояние от которой до точки, в которой находится заряд + q, равно r 1, а до точки В, в которой находится заряд q ¢, равно r 2, легко определить по принципу суперпозиции полей. Если точка С находится в среде с проницаемостью e1, то по ее потенциал q определяется равенством
если же точка C находится в диэлектрике с проницаемостью e2, то
Случай, когда в точке B находится положительный заряд-изображение q ¢, рассчитывается аналогично; для величины q ¢ получим выражение
Если диэлектрическая проницаемость первой среды больше, чем второй, то заряд отталкивается от границы диэлектриков, при обратном соотношении - притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большей проницаемостью, отталкиваясь от границы, стремится уйти в бесконечность. Заряд, вначале находившийся в среде с меньшей проницаемостью, притягивается к границе, пересекает ее, а затем, находясь уже в другой среде отталкивается от границы, стремясь уйти в бесконечность. Естественно, все сказанное справедливо только в том случае, если можно пренебречь силой трения, действующей на заряд со стороны среды. И в заключение этой задачи поговорим о граничных условиях на границе раздела двух сред. Начнем с рассмотрения диэлектрических сред. Пусть мы имеем плоскую границу двух однородных диэлектриков с различными проницаемостямиe1 и e2. Обозначим через
напряженности электрического поля в первой и во второй средах соответственно. Разложим векторы
на две составляющие - нормальную En 1 и En 2 и тангенциальную E t1 и E t2. Рис. 14 Выясним теперь, как связаны тангенциальные составляющие поля при переходе из одной среды в другую. Выберем любые две пары точек, расположенных очень близко к друг к другу и разделенных поверхностью (рис. 14). Пара точек A 1 и B 1 находится в первом диэлектрике, а пара точек A 2 и B 2 находится во втором диэлектрике. Если тангенциальные составляющие полей в разных диэлектриках будут различными, то работы поля при перемещении какого-либо заряда вдоль линий A 1 B 1 и A 2 B 2 будут различными. Будем приближать точки A 1 и A 2, B 1 и B 2 друг к другу, в конце концов мы получим две бесконечно близких линии A 1 B 1 и A 2 B 2. Поскольку электрическое поле потенциально, то работа по перемещению заряда между какими-либо точками не зависит от траектории. У нас же получается, что работа поля по перенесению заряда по двум бесконечно близким отрезкам A 1 B 1 и A 2 B 2 различна. Следовательно наше допущение о неравенстве тангенциальных составляющих поля не верно, так как ведет к нарушению потенциальности поля. Таким образом, на границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие поля в разных средах одинаковы или непрерывны, то есть E t1 = E t2. Рис. 15 Получим граничные условия для нормальных составляющих поля. Для этого выделим на поверхности прямоугольник D S столь малый, что поля в диэлектриках с проницаемостями e1 и e2 на его площади не меняются. Построим на нем параллелепипед высоты 2D L (рис. 15). Величина D L должна быть достаточно малой, чтобы электрическое поле на протяжении отрезка D L оставалось постоянным. Определим поток F поля через поверхность прямоугольного параллелепипеда. Потоки через боковые грани поверхности равны нулю, так как для них углы между напряженностью поля и нормалями (перпендикулярами) к поверхности равны 90°. Таким образом остается только посчитать потоки через верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда. Поскольку верхняя грань находится в среде с проницаемостью e1, а нижняя - в среде с проницаемостью e2, суммарный поток через них определится следующим образом F = Fниж+Fверх = e1 En 1D S -e2 En 2D S. С другой стороны, по теореме Гаусса имеем F= 0, так как свободных зарядов внутри параллелепипеда нет. Следовательно, e1 En 1 = e2 En 2. Если мы имеем две металлические среды, то тангенциальная составляющая поля на поверхности равна нулю (если бы она не была равна нулю, то электроны бы двигались против поля, а это означает, что точки на поверхности металла имеют разные потенциалы).
|