Теорема Гаусса

Связь заряда частиц и тел с их электрическим полем.

Введем понятие о потоке вектора сквозь некоторую поверхность, в данном слу-

чае о потоке вектора напряженности электрического поля.

Представим в электрическом поле поверхность s, ограниченную некоторым

контуром (рис. 1.5). Обозначим через b угол между вектором E и условно вы-

бранной положительной нормалью N к поверхности в некоторой ее точке. Усло-

вимся также, что при замкнутой поверхности положительная нормаль всегда бу-

дет направлена во внешнее пространство. Составляющая вектора E, нормальная

к элементу поверхности ds, равна En = E cos b. Интеграл от произведений элемен-

тов поверхности на составляющие вектора, нормальные к этим элементам, рас-

пространенный по всей поверхности s, носит название потока вектора

сквозь эту поверхность. Поток вектора напряженности электрического поля

сквозь поверхность s, который обозначим через YE, равен

ности элемента ds, а направление совпадает с направлением положительной нор-

мали к этому же элементу, напишем выражение потока сокращенно в векторной

форме:

где E ds = E cos b ds есть скалярное произведение векторов E и ds. Поток век-

тора — величина скалярная.

Пусть точечный заряд q расположен в пустоте. Из опытного закона Кулона

следует выражение для напряженности электрического поля то-

чечного заряженного тела (рис. 1.6):

Величина e0, называемая электрической постоянной, является

характеристикой пустоты и равна величине, обратной произведению

постоянной 4pЧ10–7 Гн/м на квадрат скорости света в пустоте:

где e0 вычисляется в фарадах на метр.

Если принять, что c = 2, 998Ч108» 3Ч108 м/с — числовое значение скорости

света в пустоте, то

Рассмотрим замкнутую поверхность s, ограничивающую часть пространства,

в которой находится точечный заряд q. Замкнутая кривая, изображенная на

рис. 1.7 штриховой линией, представляет собой след такой поверхности в плос-

кости рисунка

Полученное соотношение является математическим выражением теоремы

Гаусса, которая гласит: поток вектора напряженности электрического поля

сквозь замкнутую поверхность в пустоте равен отношению электрического за-

ряда, заключенного внутри этой поверхности, к электрической постоянной.

То существенное обстоятельство, что результат получается не зависящим от

места расположения заряженного точечного тела внутри объема, ограниченного

замкнутой поверхностью s, позволяет обобщить это выражение для любого чис-

ла точечных заряженных тел, а следовательно, и для любого числа заряженных

тел произвольной формы.

Таким образом, теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора E

сквозь замкнутую поверхность и суммарным зарядом тел, заключенных внутри

объема, ограниченного поверхностью s.

Применяя теорему Гаусса к поверхности, ограничивающей отрезок трубки

напряженности поля (рис. 1.8), имеем

Но так как вектор E касателен к боковой поверхности s0 трубки.

Следовательно, т.е.поток сквозь различные поперечные сечения

трубки напряженности поля имеет одно и то же значение.

Из теоремы Гаусса вытекает важное следствие, что электрический заряд на

заряженном проводящем теле любой формы распределяется на его поверхности,

или, точнее, в весьма тонком слое вблизи поверхности. Напряженность поля

внутри проводника при статическом состоянии зарядов должна быть равна

нулю. Действительно, при наличии электрического поля в проводящей среде

свободные электрически заряженные частицы придут в движение и, следова-

тельно, статическое состояние установится только тогда, когда напряженность

поля внутри проводника во всем его объеме станет равной нулю. Поэтому, про-

водя любую замкнутую поверхность внутри проводящего тела, получим поток

сквозь эту поверхность равным нулю. Таким образом, согласно тео-

реме Гаусса, заряд внутри такой поверхности также равен нулю. Отсюда следует,

что внутри тела суммарный заряд равен нулю и заряд тела распределен только

на его поверхности.