Постулат Максвелла

Рассмотрим процессы, которые происходят в веществе под воздействием элек-

трического поля при условии отсутствия в веществе свободных носителей заря-

да. Заряженные частицы, входящие в состав молекул вещества, испытывают со

стороны поля механические силы. Эти силы вызывают внутри молекул смеще-

ние частиц с положительными зарядами в сторону поля и частиц с отрицатель-

ными зарядами — в противоположном направлении. Если напряженность поля

нечрезмерно велика, то частицы с положительными и отрицательными заряда-

ми совершенно разойтись не могут, так как они удерживаются внутриатомными,

внутримолекулярными или межмолекулярными силами.

Существует ряд веществ, молекулы которых при отсутствии внешнего поля

электрически нейтральны, т. е. заряды, входящие в состав такой молекулы, в сред-

нем не создают электрического поля во внешнем по отношению к молекуле

пространстве, иными словами, центр электрического действия всех электронов

в молекуле совпадает с центром действия положительных ядер.

В результате смещения под действием внешнего поля положительно и отри-

цательно заряженных частиц, входящих в состав молекулы, в противоположных

направлениях центры электрического действия первых и вторых уже не будут

совпадать и во внешнем пространстве молекула будет восприниматься как

электрический диполь, т.е.каксистема двух равных, противоположных

по знаку точечных зарядов q и–q, смещенных друг относительно друга на неко-

торое расстояние d. Произведение qd называют электрическим момен-

том диполя. Электрический момент диполя рассматривают как векторную

величину, направленную в сторону смещения положительного заряда, и обозна-

чают p.

Под действием внешнего электрического поля каждая молекула обращается

в диполь, и вещество оказывается в поляризованном состоянии. Рассмотренные

диполи именуют квазиупругими диполями. К веществам, молекулы которых об-

ладают такими свойствами, относятся, например, газы: водород, кислород, азот.

ют отличным от нуля электрическим моментом даже при отсутствии внешнего

поля. Такие молекулы называют полярными.Вкачестве примера назовем газ

хлористый водород (НСl), молекулы которого состоят из положительного иона

водорода и отрицательного иона хлора, находящихся на некотором расстоянии

друг от друга, т. е. являющихся диполями. Тепловое движение приводит диполи

в хаотическое расположение, и электрические поля отдельных диполей взаимно

нейтрализуются во внешнем пространстве. Если внести такое вещество во внеш-

нее поле, то диполи будут стремиться расположиться своими осями вдоль линий

поля. Однако этому упорядоченному расположению препятствует тепловое дви-

жение. В результате происходит лишь некоторый поворот диполей в направле-

нии поля, и вещество оказывается в определенной мере поляризованным. При

этом к эффекту ориентации осей диполей обычно добавляется рассмотренный

выше эффект деформации молекул.

Электрическим моментом некоторого объема поляризованного вещества на-

зывают векторную величину, равную геометрической сумме электрических мо-

ментов всех диполей, заключенных в этом объеме.

Степень электрической поляризации вещества в данной точке характеризуют

векторной величиной, называемой поляризованностью или интен-

сивностью поляризации, иобозначают буквой P.

Поляризованность равна пределу отношения электрического момента неко-

торого объема вещества, содержащего данную точку, к этому объему, когда по-

следний стремится к нулю.

В веществах с квазиупругими диполями при наличии электрического поля

оси всех диполей имеют одинаковое направление, и можно написать

где — число диполей (молекул), отнесенное к единице объема веще-

ства, причем dN число диполей в объеме dV. Опыт показывает, что в полях, с ко-

торыми мы имеем дело на практике, для всех таких веществ поляризованность

пропорциональна напряженности поля, т. е. P =cE.

опорциональна напряженности поля, т. е. P =cE.

Эта пропорциональность характерна и для веществ с полярными молекула-

ми. При этом она нарушается лишь при очень сильных полях, когда почти все

диполи ориентируются вдоль внешнего поля.

Коэффициент c называют абсолютной диэлектрической воспри-

имчивостью вещества. Отношение cr =c/e0 называют относительной

диэлектрической восприимчивостью, илипросто диэлектриче-

ской восприимчивостью.

Вещество, основным электрическим свойством которого является способ-

ность поляризоваться под воздействием электрического поля, называется ди-

электриком.

Существует особая группа диэлектриков, так называемые сегнетоэлектрики,

у которых величина c сильно зависит от напряженности поля и при некоторых

значениях напряженности поля и температуры достигает весьма больших значе-

ний.

Поляризованность диэлектрика можно охарактеризовать также несколько

иначе, связав определение поляризованности с фактом смещения в диэлектрике

положительно и отрицательно заряженных частиц под действием поля. Пусть

изолирующее вещество помещено в однородное электрическое поле между дву-

мя заряженными металлическими пластинами. При установлении поля частицы

с положительными зарядами в диэлектрике смещаются по направлению к отри-

цательно заряженной пластине в среднем на расстояние x. Частицы с отрица-

тельными зарядами при этом перемещаются по направлению к положительно

заряженной пластине на расстояние d–x, где d—среднее расстояние, отсчи-

тываемое по линии напряженности поля, на которое расходятся по отношению

друг к другу частицы с положительными и отрицательными зарядами. Для ква-

зиупругих диполей d есть расстояние между центрами зарядов диполя, т. е. дли-

на оси диполя. Для полярных молекул d — среднее значение проекций осей ди-

полей на направление напряженности поля.

Рассечем мысленно диэлектрик плоскостью, нормальной к ли-

ниям напряженности поля, и рассмотрим поверхность s, являю-

щуюся частью этой плоскости. На рис. 1.9 след a–bповерхности s

показан жирными штрихами. За время изменения напряженности

поля от нуля до конечного значения сквозь поверхность s прохо-

дят в направлении сил поля все положительные заряды, которые

до начала установления поля были заключены в объеме xs, и про-

тив сил поля — все отрицательные заряды, которые до установле-

ния поля были заключены в объеме (d–x)s (рис. 1.9). Если q—

положительный заряд диполя и N1 — число диполей в единице объ-

ема, то в процессе установления поля сквозь поверхность s смеща-

ется в направлении вектора E положительный заряд qN1xs ивпро-

тивоположном направлении — отрицательный заряд –qN1(d–x)s.

Так как смещение отрицательного заряда против сил поля эквивалентно сме-

щению положительного в направлении сил поля, то общий заряд, сместившийся

сквозь поверхность s, равен

так как N1qd = P. Стало быть,

В общем случае для неоднородного поля следует записать

т. е. поляризованность равна пределу отношения электрического заряда, перено-

симого заряженными частицами, сместившимися в веществе диэлектрика в про-

цессе установления поля сквозь элемент поверхности, нормальный к направлению

смещения частиц, к размеру этого элемента при стремлении последнего к нулю.

В анизотропных кристаллических телах диэлектрическая восприимчивость по

различным главным осям имеет различные значения, и если вектор E не на-

правлен по одной из главных осей кристалла, то вектор P уже не совпадает по

направлению с вектором E. Физически это объясняется тем, что заряженные эле-

ментарные частицы в молекулах кристаллов смещаются не в сторону действия

внешнего поля, а несколько уклоняются в том направлении, в котором про-

тиводействующие смещению межмолекулярные силы наиболее слабы и диэлек-

трическая восприимчивость наибольшая. При произвольном, но заданном

расположении осей 0X, 0Y и0Z по отношению к главным осям кристалла связь

между составляющими векторов P и E по осям 0X, 0Y и0Z может быть записана

в виде

т. е. диэлектрическая восприимчивость (как абсолютная, так и относительная)

является при этом тензорной величиной.

Рассмотрим, какив§1.4, тело любой формы с зарядом q (рис. 1.10), но те-

перь будем считать, что тело окружено диэлектриком, в общем случае неодно-

родным и анизотропным. Окружим мысленно тело замкнутой

поверхностью s, расположенной в диэлектрике. При увеличении

свободного заряда q тела от нуля до его конечного значения

в диэлектрике усиливается электрическое поле и увеличивает-

ся поляризация диэлектрика. В процессе установления поля

происходит смещение элементарных, обладающих электриче-

ским зарядом частиц, входящих в состав вещества диэлектрика,

и сквозь поверхность s этими частицами переносится заряд Qў.

Согласно изложенному выше, этот заряд может быть представ-

лен в виде

где P — вектор поляризованности в точках поверхности s. При этом, если q > 0,

то и Qў > 0, так как в этом случае положительно заряженные частицы смещаются

в направлении положительной внешней нормали к поверхности s.

В объеме пространства, ограниченного поверхностью s, помимо свободного

заряда q появится так называемый связанный заряд qў, т. е. заряд частиц,

связанных внутримолекулярными силами, но уже не компенсирующийся заря-

дом другого знака. При однородном диэлектрике связанный заряд появляется

на границе диэлектрика около поверхности заряженного проводника, где как бы

обнажаются заряды диполей одного знака, противоположного знаку заряда q

проводника. В общем случае у неоднородного диэлектрика связанные заряды

появляются также на границах раздела частей диэлектрика, обладающих раз-

личными диэлектрическими проницаемостями. Существенно отметить, что не-

зависимо от того, где размещены связанные заряды, должно иметь место очевид-

ное равенство

Действительно, до образования электрического поля объемная плотность

электрического заряда в диэлектрике всюду была равна нулю и связанный заряд

qў также был равен нулю. Поэтому появление избыточного связанного заряда qў

одного знака в объеме, ограниченном поверхностью s, после установления поля

возможно только вследствие того, что сквозь поверхность s смещающимися в

процессе поляризации заряженными частицами переносится заряд Qў. При этом

абсолютные значения |qў|и|Qў| должны быть равны друг другу, но сами величины

qў и Qў должны быть противоположны по знаку, так как, если положительный

заряд смещается сквозь поверхность s изнутри наружу, то в объеме, ограничен-

ном этой поверхностью, образуется избыток отрицательного заряда.

Итак, имеем

Учитывая, что в результате поляризации появляется связанный заряд qў, мы

должны рассматривать поле как существующее в пустоте, но созданное не

только свободным зарядом q тела, но и связанным зарядом qў. Соответственно,

можно написать теорему Гаусса в форме

Умножив правую и левую части равенства на e0, получаем:

Отсюда находим

Обозначим через D вектор, равный сумме векторов e0E и P:

и назовем его вектором электрического смещения. Имеем

т. е. поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность в на-

правлении внешней нормали равен свободному электрическому заряду, заключен-

ному в части пространства, ограниченной этой поверхностью.

В последнем соотношении b есть угол между вектором D и нормалью к

элементу ds поверхности s.

Единицей электрического смещения является кулон на квадратный метр

(Кл/м2).

Воспользуемся соотношением P =cE, тогда

В анизотропных кристаллических телах при произвольном, но заданном рас-

положении осей 0X, 0Y, 0Z по отношению к главным осям кристалла связь меж-

ду проекциями на оси координат векторов D и E может быть записана в форме,

аналогичной той, в которой была записана выше связь между проекциями век-

торов P и E. При этом диэлектрическая проницаемость является тензорной ве-

личиной.

Величина e является основной характеристикой диэлектрика и называется

абсолютной диэлектрической проницаемостью.Онахарактери-

зует диэлектрические свойства вещества, является скалярной величиной для

изотропного вещества, равна отношению модуля электрического смещения к

модулю напряженности электрического поля и является тензорной величиной

для анизотропного вещества. Отношение er = e/e0 называют относительной

диэлектрической проницаемостью:

Для однородной изотропной среды имеем

Последнее выражение является теоремой Гаусса для любого однородного

изотропного диэлектрика.

Понятие об электрическом смещении в диэлектрике и о векторе электриче-

ского смещения было введено Максвеллом.

Вторая составляющая P вектора электрического смещения была нами пред-

ставлена как результат смещения элементарных, обладающих зарядом частиц,

входящих в состав вещества диэлектрика, сквозь поверхность, нормальную к на-

правлению смещения этих частиц.

Первая составляющая e0E вектора электрического смещения, которую обо-

значим через D0, не является результатом смещения электрически заряженных

частиц сквозь некоторую поверхность, так как она относится к электрическому

полю в пустоте, т. е. к той области пространства, в которой отсутствуют заряжен-

ные частицы.

Величина D0 =e0E, так же как и напряженность поля E, характеризует само

электрическое поле в данной его точке. Важно отметить, что физическая размер-

ность величины D0 та же, что и поляризованности P диэлектрика, т. е. электриче-

ского заряда, отнесенного к единице поверхности. Это обстоятельство дает воз-

можность сделать весьма важные обобщения, относящиеся к изменяющемуся во

времени электрическому полю. Они будут развиты далее в параграфах об элек-

трическом токе и его магнитном поле.

Соотношение

устанавливающее равенство потока вектора электрического смещения сквозь

любую замкнутую поверхность свободному заряду, заключенному в объеме, огра-

ниченном этой поверхностью, называют иногда обобщенной теоремой

Гаусса, поскольку оно справедливо уже для любой среды.

Мы получили это соотношение, использовав теорему Гаусса. Однако теорема

Гаусса доказывается лишь для электростатического поля. Соотношение же

следуя Максвеллу, полагают справедливым во всех без исключения

случаях и для сколько угодно быстро изменяющихся переменных электрических

полей.

При таком широком обобщении это соотношение следует рассматривать как

основной постулат теории электромагнитного поля. Все выводы этой теории,

принимающей его в качестве одного из главных положений, полностью подтвер-

ждаются опытом. Будем называть его постулатом Максвелла.

Определив вектор электрического смеще-

ния во всех точках поля, можно провести

ряд линий таким образом, чтобы в каждой

точке этих линий касательные к ним совпа-

дали по направлению с вектором смещения

(рис. 1.11). Эти линии называют линия-

ми электрического смещения.На

рисунках их изображают со стрелками, ука-

зывающими направление вектора D. Сово-

купность линий смещения, проходящих че-

рез все точки контура, ограничивающего

некоторую поверхность s (рис. 1.11), образует трубчатую поверхность, которая

выделяет из всего поля так называемую трубку электрического

смещения.Линии и трубки смещения начинаются на положительных заря-

дах и кончаются на отрицательных.

Установим связь между зарядами Dq1 и Dq2 на концах трубки смещения.

Применяя постулат Максвелла к замкнутой поверхности, образованной бо-

ковой поверхностью s0 трубки и поверхностями s1 и s2 внутри заряженных про-

водящих тел (рис. 1.11), будем иметь

Но так как поле внутри заряженных проводящих тел отсут-

ствует, и так как вектор D касателен к поверхности s0. Таким образом,

т. е. трубка электрического смещения опирается своими концами на равные и

противоположные по знаку заряды.