Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
изменение шага в многошаговых методах
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как можно на основе так называемого вектора Нордсика, не прибегая к задаче интерполяции, эффективно изменять шаг интегрирования в процессе численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Сущность проблемы изменения шага в многошаговых методах сводится к следующему. В текущий момент времени в памяти компьютера хранятся вычисленные значения решения и умноженные на значения его производной в моменты времени . Обозначим их вектором . Если в момент времени принимается решение об изменении шага интегрирования, т. е. , где , то для выполнения шага интегрирования многошаговым методом необходимы предшествующие значения решения и значения его производной в моменты времени . Эти значения образуют вектор , причем только . Остальные компоненты вектора должны быть перевычислены. Использование для этой цели интерполяционной процедуры может потребовать значительных вычислительных усилий. Имеется другой путь. Введем так называемый вектор Нордсика, который для значений временного шага и имеет вид , . Заметим, что , так как эти величины относятся к одному и тому же моменту времени . Следовательно, значения векторов и связаны простым соотношением , или в компактной форме , где – диагональная матрица. С другой стороны, вектор Нордсика может быть определен посредством следующего линейного преобразования переменных: , где – невырожденная матрица преобразования переменных линейного многошагового метода. Объединение введенных матричных преобразований приводит к линейной системе , из которой для заданного вектора можно найти искомый вектор . Так как матрица имеет невысокий порядок, то такая процедура перехода от к оказывается достаточно эффективной. Рассмотрим, как строится матрица преобразования переменных многошагового метода на примере явного метода Адамса третьего порядка. В этом случае и . При построении матрицы воспользуемся тем свойством, что явный метод Адамса третьего порядка позволяет найти точное решение, описываемое полиномом третьей степени . Очевидно, что . Полагая величину постоянной на трех шагах, выберем , , и вычислим из соотношений для , зна-чения : . Решим эту систему относительно коэффициентов : Подставляя значения коэффициентов в соотношения для , нетрудно найти, что В итоге связь вектора Нордсика явного метода Адамса третьего порядка с вектором имеет следующий вид: . Это преобразование переменных имеет место также для неявного метода Адамса четвертого порядка. Действительно, неявный метод Адамса четвертого порядка является трехшаговым методом и для него векторы и такие же, как и для явного метода Адамса третьего порядка. Наконец, в случае метода Гира третьего порядка (он является трехшаговым) векторы и соответственно равны Действуя по аналогии, нетрудно получить, что . В заключение подчеркнем, что для любого многошагового метода можно построить матрицу преобразования переменных. В свою очередь, привлечение матриц и позволяет эффективно перевычислять вектор при изменении шага интегрирования. Сделаем ряд практических замечаний по проблеме выбора шага. Замечание 1. При оценке погрешности интегрирования многошагового метода порядка по формуле необходимо вычислить значение . Это легко сделать, используя -ю компоненту вектора Нордсика на двух соседних шагах: . Погрешность расчета находится следующим образом: . Замечание 2. При изменении шага интегрирования локальная погрешность оценивается по формуле . Из этого соотношения легко найти параметр : , где – допустимая величина локальной погрешности.
|