Признаки делимости на 11

Основна́ я теоре́ ма арифме́ тики утверждает:

Каждое натуральное число n > 1 представляется в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде

где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа n называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Следствия

• Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:

Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел , то p делит x или y.

Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n / p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

Ма́ лая теоре́ ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Иная формулировка: