Динамиканың екінші негізгі мәселесін шешу

Техникағ а қ атысты кө птеген мә селелерді шешу динамиканың екінші негізгі мә селесін шешуге алып келеді. Динамиканың екінші негізгі мә селесі нү ктеге қ ойылғ ан кү ш қ андай сипатта ө згеруіне қ арай диффренциал тең деулерді шешудің тү рлі тә сілдерін қ олданады.

Ең қ арапайым жағ дай кү ш тұ рақ ты болғ анда. Кейбір жағ дайлар кү ш уақ ыттың, немесе нү кте орнының, немесе нү кте жылдамдығ ының функциясы болуы мү мкін. Сондай-ақ бір жола уақ ыт, жол, жылдамдық жә не кейде ү деу функциясынан тұ ратын жағ дайлар кездеседі.

Динамиканың бұ л негізгі мә селесін шешу ү шін (1.8), (1.9), (1.13)-(1.16) тү ріндегі екінші реттік диффренциал тең деулердің бірін қ ұ ру жә не оны интегралдау керек. Интегралдау нә тижесінде дифференциал тең деулердің шешіміне кез-келген тұ рақ тылар енеді. Ә рбір нақ ты есепті шешкен кезде бұ л тұ рақ тыларды анық тау керек. Тұ рақ тыларды анық тау ү шін материялық нү ктенің бастапқ ы уақ ыттағ ы алғ ан орны мен жылдамдығ ын ө рнектейтін шарттардан пайдаланылады. Динамиканың екінші негізгі мә селесі бойынша дифференциал тең деулер шешіліп, нү ктенің қ озғ алыс заң ы анық талады. Бұ л жол динамиканың кері мә селесі деп те аталады. Динамиканың кері мә селесі тө мендегі ретпен шешіледі.

1. Егер есеп шартында санақ жү йесі берілмеген болса, онда ол таң дап алынады.

2.Суретте материялық нү ктенің кез келген жағ дайы белгіленіп, оғ ан ә сер ететін кү штер кескінделеді.

3. Егер нү кте байланыста болса, оны байланыстан ойша босатып, байланыс реакция кү штері суретте кө рсетіледі.

4. Материялық нү кте қ озғ алысының бастапқ ы шарттары жазылады.

5. Материялық нү кте қ озғ алысының таң дап алынғ ан санақ жү йесіндегі дифференциал тең деулері қ ұ рылады.

7. Бастапқ ы шарттарды пайдаланып, интегралдау нә тижесінде алынғ ан тұ рақ тылар анық талады.

8. Материялық нү ктенің анық талғ ан қ озғ алыс тең деуінен керек болғ ан белгісіздер табылады.

1.5-есеп. Массасы m=5кg болғ анматериялық нү ктеге F₁=3H, F₂=10H кү штер ә сер етеді. Материялық нү кте ү деуінің О_х ө стегі проекциясы анық талсын (1.11-сурет).

1.11 сурет

Шешуі. Есеп шарты бойынша санақ жү йесі берілген болып, ә сер ететін кү штер суретте кө рсетілген. Материялық нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деуінің О_х ө сіндегі проекциясын аламыз.

(1.26)

1.11 суреттен

(1.27)

(1.27)-ні (1.26)-ге қ оямыз:

Бұ дан

Сан мә ндерін қ ойсақ, а_х=1.13м/с² келіп шығ ады.

1.6-есеп. Массасы m=2кг болатын нү кте Оху жазық тығ ында Ғ _х=2sin 0.5пt, жә не Ғ _у=5cosпt кү штер ә серінен қ озғ алады. Осы нү ктенің t=1 секунттағ ы жылдамдығ ы табылсын. (1.12-сурет). Бастапқ ы уақ ытта нү кте тыныштық кү йде болады.

1.12 сурет

Шешуі. Есеп шартына сә йкес материялық нү кте Оху жазық тығ ында қ озғ алады. Сондық тан санақ жү йесі 1.12- суреттегідей болады. Осы нү ктеге Ғ _х, Ғ _у кү штер ә сер етеді.

Бастапқ ы уақ ытта нукте тыныштық кү йде болғ андық тан х=0, y=0, V_x=0, V_y=0 болады.

Материялық нү ктенің дифференциал тең деулері тө мендегідей жазылады:

,

бұ дан

,

немесе

(1.28)

келіп шығ ады.

(1.28)-ді бастапқ ы шарттардан пайдаланып интегралдасақ:

Сан мә ндерін қ ойсақ, V_x=-0.64 м/с, V_y=0 шығ ады.

1.7- есеп. Массасы m=16кг болатын материялық нү кте жазық тық тағ ы қ исық сызық ты траектория бойымен тең ә сер етушісі Ғ =0.3 t(Н) болатын кү ш ә серінде қ озғ алады.

1.13 - сурет

Осы кү ш жылдамдық векторымен =50⁰ бұ рыш қ ұ райды. t=20 секунд болғ анда иілу радиусы =12м. Материялық нү ктенің жылдамдығ ы анық талсын (1.13-сурет).

Шешуі. Материялық нү кте қ озғ алысын табиғ и координаттар жү йесіне қ атысты қ арастырамыз. Нү ктеге суретте кө рсетілген кү ш ә сер етеді. Материялық нү кте жылдамдығ ын анық тау ү шін (1.13) тең деудің екіншісін қ ұ рамыз.

(1.29)

1.13 суреттен:

(1.30)

(1..30) - ө рнекті (1.29)-ге қ оямыз:

Бұ дан

Сан мә ндерін қ ойсақ, V=1.86 м/с шығ ады.

1.8-есеп. Дә н лақ тырғ ыш аппараттан лақ тырылғ ан бидайдің бастапқ ы жылдамдығ ы V₀. V₀ жылдамдық тың горизонтпен жасайтын бұ рышы қ андай болғ анда бидай ең алысқ а барып тү седі. Орта кедергісі есепке алынбасын (1.14-сурет).

1.14 сурет.

Шешуі: Бидай қ озғ алысын Декарт координаталар жү йесіне қ атысты қ арастырамыз.Координаттар басы О - ді М (бидай) нү ктенің бастапқ ы лақ тырылу қ алпы деп, Оху жазық тық ты V₀ арқ ылы жү ргіземіз. Бұ л жағ дайда бидай қ озғ алысы Оху жазық тығ ында болады. Бидайғ а тек ауырлық кү ші ә сер етеді.

Бастапқ ы уақ ытта бидайдың координаттары x=0, y=0; ал жылдамдық тың координат ө стеріндегі проекциялары V_x=V₀cos , V_y=V₀sin .

М нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деулері:

,

немесе

(1.31)

(1.31)-ө рнекті екі рет интегралдасақ, онда

у=-gt+c₃, y= c₃t+c_4. (1.32)

Бастапқ ы шартарды (1.32) ге қ ойсақ,

шығ ады.

Демек, бидай қ озғ алысының параметрлік тең деулері

(1.33)

болады.

(1.33) тең деулерден уақ ытты жойсақ, бидай қ озғ алысының траектория тең деуі келіп шығ ады, яғ ни:

(1.34)

(1.34) параболаның тең деуі болып, оның ө сі О_у ө сіне паралель.

Енді бидайдің ең алысқ а барып тү сетін қ ашық тығ ын табамыз. Бұ л ү шін (1.34)-ті нө лге тең естіріп,

(1.35)

табамыз. (1.35)-тегі х координата максимум болуы ү шін sin2 =1, , болуы керек.

Демек, .