Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Тема 2. Ряды динамики.
|
|
Задача 1. Валовый сбор яиц за период 2000-2005 гг. характеризуется следующим рядом динамики (таблица 3):
Таблица 3. Валовый сбор яиц за период 2000-2005гг.
| Год | ||||||
| Валовый сбор яиц, млн.т. | 34, 1 | 35, 2 | 36, 3 | 36, 5 | 35, 8 | 36, 8 |
Вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2006 год с вероятностью 95%.
Решение. Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).
Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (1), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (2).
(1) 
(2)
По знаку абсолютного изменения делается вывод о характере развития явления: при 
> 0 — рост, при < 0 — спад, при = 0 — стабильность.
В нашей задаче эти изменения определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы 3. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: 
= 35, 8 и 
= 35, 8
Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (3), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (4).
(3) 
(4)
Относительные изменения уровней — это по существу индексы динамики, критериальным значением которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.
3. Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 3, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: 
=1, 1 и 
=1, 1.
Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи.
Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда 
. Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис.3):
.
Рис.3. Методы расчета среднего уровня ряда динамики
В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней арифметической простой: = 214, 7 / 6 = 35, 7 (млрд.шт.). То есть за период 2000-2005, в среднем за год произведено яиц 35, 7 млрд. шт.
Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели – среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.
Базисное среднее абсолютное изменение – это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (5). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда – это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений наколичество изменений (6).
Б = 
(5) Ц = 
(6)
По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче
= 2, 7/5=0, 54, то есть ежегодно в среднем величина валового сбора яиц увеличивается на 0, 54 млрд. шт.
Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (7), а цепное среднее относительное изменение – по формуле (8).
Б= 
= 
(7) Ц= 
(8)
Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашей задаче = 
то есть ежегодно в среднем величина валового сбора яиц увеличивается в 1, 015раза.
Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче 
= 1, 015 – 1 = 0, 015, то есть ежегодно в величина валового сбора яиц растет на 1, 5%.
Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами, но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида (9):
(9)
где 
– математическая функция развития; 
– случайное или циклическое отклонение от функции; t – время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода – выбор теоретической зависимости в качестве одной из
функций:
– прямая линия; (10) 
– гипербола; (11)
– парабола; (12) 
– степенная; (13)
– ряд Фурье.(14)
Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис.4):
Рис.4. График динамики производства яиц.
Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.
Определение параметров 
в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней дает метод наименьших квадратов – МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней 
от теоретических уровней (15):
(15)
В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры 
и 
отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле вместо записываем его конкретное выражение 
. Тогда 
Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.
В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные (15):
(15)
Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с и y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений (16):
(16)
где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.
Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: 
, 
, 
и т.д.
При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) 
= 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно (17):
(17)
Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле параметры уравнения прямой.
Получаем, что = 214, 7/6 = 35, 783 и = 9, 5/28=0, 339. Отсюда искомое уравнение тренда =35, 783+ 0, 339t. В 6-м столбце таблицы 4. приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней.
Для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение Fр (18) с теоретическими значениями FТ. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:
, (18)
где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; ДА – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (20); До – остаточная дисперсия (21), определяемая как разность фактической дисперсии ДФ (19) и аналитической дисперсии:
; (19) 
; (20)
(21)
Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости 
с учетом степеней свободы 
и 
. Уровень значимости связан с вероятностью 
следующей формулой 
. При условии Fр > FТ считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.
Таблица 4. Вспомогательные расчеты для решения задачи
| Год | y | t | t2 | yt |
| (y – )2
| ( –  )2
| (y – )2
|
| 34, 1 | -3 | -102, 3 | 34, 766 | 0, 444 | 1, 034 | 2, 838 | ||
| 35, 2 | -3 | -70, 4 | 35, 105 | 0, 009 | 0, 460 | 0, 340 | ||
| 36, 3 | -1 | -36, 3 | 35, 444 | 0, 733 | 0, 115 | 0, 267 | ||
| 36, 5 | -1 | 36, 5 | 36, 122 | 0, 143 | 0, 115 | 0, 514 | ||
| 35, 8 | 71, 6 | 36, 461 | 0, 437 | 0, 460 | 0, 000 | |||
| 36, 8 | 110, 4 | 36, 8 | 1, 034 | 1, 034 | ||||
| Итого | 214, 7 | 9, 5 | 214, 7 | 1, 766 | 3, 218 | 4, 987 |
Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле, для чего в 7-м столбце таблицы 4 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле, можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): FР =12, 872/1, 766= 7, 289 > FТ, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (FТ = 7, 71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [ 
= k – 1 = 1] и 8-й строке [ 
= n – k = 4]).
При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (22):
(22)
где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; 
– коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы 
=n–1 (приложение 2); 
– ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (23):
, (23)
где 
и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда.
Т.к. FР < FТ (7, 289< 7, 71), то модельне адекватна и ее нельзя использовать для прогноза.
|
|