💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Тема 1. Средние величины и показатели вариации

По имеющимся в следующей таблице данным по группе из 20 студентов заочного отделения необходимо:

1) построить интервальный ряд распределения признака и его график;

2) рассчитать модальное, медианное и среднее значение, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации;

Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n):

n = 1 +3, 322 lg N, (1)

где N – число величин в дискретном ряде.

В нашей задаче n = 1 + 3, 322 lg 20 = 1 + 3, 322*1, 3= 5, 32. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 5.

После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:

h = H / n, (2)

где H – размах вариации, определяемый по формуле (3).

H = Х_мах –Х_min, (3)

где X_мax и X_min — максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче h = (3, 533-2, 011)/5 =1, 522/5=0, 304

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Мода () – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (4):

Формула для вычисления:

, (4)

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом соответственно.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Используя формулу (4), определяем точное значение модального возраста:

М_о=2, 315+0, 304 * = 2, 6

Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Вычисляется медиана по формуле:

(5)

где – нижняя граница медианного интервала;

– медианный интервал;

– половина от общего числа наблюдений;

– сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

Используя формулу, определяем точное значение медианного возраста:

Ме 2, 315+0, 304* (10-4)/6 = 2, 6

Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (5). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (6).

= ; (5) = . (6)

При этом обозначено: X_i – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (5) и (6) при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).

Таблица 2. Виды степенных средних и их применение

m	Название средней	Формула расчета средней	Когда применяется
простая	взвешенная
	Арифметическая	= (7)	= (8)	Чаще всего, кроме тех случаев, когда должны применяться другие виды средних
–1	Гармоническая	ГМ = (9)	ГМ = (10)	Для осреднения величин с дробной размерностью при наличии дополнительных данных по числителю дробной размерности
	Геометрическая	(11)	(12)	Для осреднения цепных индексов динамики
	Квадратическая	= (13)	= (14)	Для осреднения вариации признака (расчет средних отклонений)
	Кубическая	= (15)	= (16)	Для расчета индексов нищеты населения
	Хронологическая	(17)	(18)	Для осреднения моментных статистических величин

 

Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть < < < < . Так, если , то , а если , то .

В нашей задаче, применяя формулу (8) и подставляя вместо середины интервалов веса Х_И, определяем среднее соотношение роста к весу студентов: = 53, 292/20 = 2, 665. Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.

Среднее линейное отклонение определяется по формулам (19) и (20):

–простое; (19) – взвешенное. (20)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (21):

. (21)

Дисперсия определяется по формулам (22) или взвешенная.(23):

–простая; (22) –взвешенная.(23)

В нашей задаче, применяя формулу, определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = 0, 008/20 = 0, 0004 (шт). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации: =0, 0004/2, 665=0, 00015 По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0, 160 < 0, 333).

Применяя формулу взвешенная (23), получим в итоге дисперсию: Д = 3, 006/20 = 0, 150. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = =0, 388.Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации:

= 0, 388/2, 665 = 0, 146. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего соотношения веса к росту, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0, 146 < 0, 333).

Т.к. V=0, 146< 1/3 (0, 146 < 0, 333), то делаем вывод о типичности среднего соотношения веса к росту.

В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка:

 

= = 0, 616/20 = 0, 031

 

=0, 031³=0, 058

 

= 0, 031/0, 058 = 0, 534> 0 (коэффициент асимметрии)

Значит соотношение с правосторонней асимметрией.

 

Для характеристики крутизны (заостренности) распределения используется центральный момент 4-го порядка:

 

=

 

Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка, который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным, вычисляется эксцесс распределения:

= 1, 072 / 0, 3884 – 3= 44, 301

Ex> 0, распределение - высоковершинное.

 

12Следующая ⇒