Пример решения задачи. Схема балки приведена на рис.3.10.а.

Схема балки приведена на рис.3.10.а.

1. Построение эпюр внутренних усилий в балке.

Для определения реакций опор составляются уравнения равновесия:

(точка А совпадает с шарниром левой опоры)

(3.11)

(точка В совпадает с шарниром правой опоры)

(3.12)

(3.13)

Из уравнения (3.11) определяется реакция R _В

или .

Из уравнения (3.12) определяется реакция R_А

или

Проверка: ;

или .

Рис. 3.10

Для определения внутренних усилий в пролете балки проводится сечение 1 (рис.3.10.б). В сечении 1 показываются положительные внутренние усилия и М_х1.

Длина отсеченной части ‑ переменная величина .

Для отсеченной части составляются два уравнения равновесия

;

или (3.14)

;

(3.15)

Переменная z₁ может принимать любое значение в пределах пролета балки, то есть .

Для определения усилий, действующих в поперечных сечениях консольной части балки проводится сечение 2 (Рис.3.10.б). Длина отсеченной части ‑ переменная величина z₂. В сечении 2 показываются положительные внутренние усилия , М_х2.

Для отсеченной части составляется два уравнения равновесия

; или (3.16)

, или (3.17)

Диапазон изменения переменной z ₂: .

По полученным выражениям для , М_х строятся эпюры усилий.

Поперечная сила изменяется по длине балки по линейному закону и . Для построения графика линейной функции вычисляются значения функции в двух точках, ‑ в начале и в конце каждого участка.

, , , ,

, ,

Для построения эпюры поперечной силы проводится ось z (рис.3.10.в). Выбирается масштаб эпюры (произвольно) и в начале и конце каждого участка балки откладываются вычисленные значения . В сопротивлении материалов принято характерные ординаты эпюр сопровождать числовыми значениями и указывать знаки усилий.

Эпюра изгибающего момента М_х строится аналогично: проводится ось z; выбирается масштаб эпюры М_х (масштаб эпюры М_х не связан с масштабом эпюры ); в начале и конце каждого участка откладываются ординаты, равные вычисленным значениям изгибающего момента (рис.3.10.г).

В данном примере функция изгибающего момента М_х описывается параболой второй степени. Парабола второй степени строится по трем точкам: две точки граничные (начало и конец участка), а третья точка – точка экстремума функции. Условие экстремума функции М_х

(3.18)

Из теории изгиба известно, что условие (3.18) означает равенство нулю поперечной силы . На эпюре видно, что функция М_х имеет экстремум в пролете балки (нулевое значение ординаты функции ). Для определения координаты следует функцию приравнять к нулю. Согласно выражению (3.14)

или

Для вычисления экстремального значения изгибающего момента М_х в выражение (3.15) подставляется

или

В пределах консоли сечение с нулевым значением поперечной силы совпало с граничным сечением. Это означает, что функция изгибающего момента М_х достигает экстремального значения на правом краю консоли. В этом случае третья точка, необходимая для построения эпюры изгибающего момента М_х принимается в середине консоли, т.е.
, или

Основное назначение эпюр и М_х заключается в определении опасных сечений в балке. Сечение с наибольшим значением изгибающего момента (независимо от знака) определяет первое опасное сечение, в котором действуют наибольшие нормальные напряжения :

(3.19)

Проверка прочности балки по нормальным напряжениям заключается в выполнении условия

(3.20)

Сечение с наибольшим значением поперечной силы (независимо от знака) определяет второе опасное сечение, в котором действуют наибольшие касательные напряжения , которые вычисляются по формуле Журавского:

(3.21)

Проверка прочности балки по касательным напряжениям выполняется по формуле

,

2. Подбор поперечного сечения балки

Подбор поперечного сечения балки производится по формуле:

(3.22)

Здесь и

- требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки. Для подбора сечения балки в виде двутавра используются специальные таблицы, которые называются сортамент (см. приложение). В сортаменте «Балки двутавровые» в столбце находится число, ближайшие к искомому . Такими ближайшими числами являются и . Выбирается большее значение . Это число определяет строку в таблице, а левое крайнее число в строке определяет номер прокатного профиля, - двутавр №30.

3. Проверка прочности балки в точках, расположенных на нейтральной оси.

В точках, расположенных на нейтральной оси, касательные напряжения достигают максимальных значений:

Значения величин , , выписываются из сортамента для заданного номера двутавра. , , .

Примечание. В формуле Журавского величина означает ширину сечения в месте вычисления напряжений. В сортаменте этот размер обозначен , то есть . Подстановка числовых данных дает

.

Вывод:

1. Подобрано сечение балки в виде двутавра №30.

2. Прочность балки по касательным напряжениям обеспечивается

4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

4.1. Лабораторная работа № 1.
" Растяжение стального образца до разрыва".

Цель опыта: получение механических характекристик прочности и пластичности стали при статическом разрыве.

Испытания проводятся на стандартных образцах цилиндрической формы с соотношением (рис.4.1)

Рис.4.1 Образец для испытания на растяжение

Для проведения испытаний используется разрывная машина, снабженная записывающим устройством. В процессе испытания автоматически вычерчивается диаграмма растяжения.(рис.4.2)

На диаграмме можно выделить четыре характерные ординаты:

- - нагрузка, соответствующая окончанию линейного участка диаграммы;

- - нагрузка, соответствующая горизонтальному участку диаграммы;

- - максимальная нагрузка, достигнутая в процессе проведения испытания;

- - нагрузка, соответствующая моменту разрушения образца.

Рис. 4.2 Диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали

Соответственно четырем перечисленным нагрузкам на диаграмме испытания выделяют четыре участка: ОА – линейный участок. В интервале нагрузок материал работает линейно и упруго, справедлив закон Гука.

Горизонтальный участок имеет специальное название, - площадка текучести. В пределах площадки текучести необратимая пластическая деформация увеличивается без заметного увеличения нагрузки на образец. Участок ВС – участок упрочнения материала. В пределах участка упрочнения пластическая деформация образца характеризуется как равномерная.

Участок СD – участок разрушения. Пластическая деформация становится существенно неравномерной. Образуется шейка (местное сужение), определяющая место разрушения образца. Если условно считать, что площадь поперечного сечения рабочей части образца остается неизменной, то отношение соответствует условному нормальному напряжению в материале образца.

Механические характеристики прочности:

предел пропорциональности - наибольшее напряжение, до которого образец деформируется в соответствии с законом Гука,

;

предел текучести - наименьшее напряжение, при котором образец деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки,

;

при отсутствии на диаграмме растяжения физической площадки текучести (рис. 4.2) принято определять

условный предел текучести - напряжение, при котором относительное остаточное удлинение достигает 0, 2 %;

временное сопротивление (предел прочности) - условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке , предшествующей началу разрушения образца

;

истинное сопротивление разрыву - напряжение, определяемое отношением нагрузки в момент разрыва к площади поперечного сечения образца в месте разрыва ,

.

Пластические свойства материала при кратковременных испытаниях на разрыв определяются двумя механическими характеристиками:

относительным остаточным удлинением при разрыве

;

относительным остаточным сужением при разрыве

.

Величины - размеры образца до испытания, - размеры после разрыва – известны из непосредственных измерений образца. Разность может быть найдена и непосредственно по диаграмме растяжения.