II.2.2. Динамические режимы

К динамическим механическим режимам нагружения и деформирования относятся, в первую очередь, циклические режимы: малоамплитудные вынужденные гармонические колебания, циклы нагружения и разгрузки с заданной скоростью приложения и снятия нагрузки, а также свободно-затухающие колебания и распространение затухающих упругих колебаний и волн. Поведение вязко-упругих и упруго-вязких сред при таких режимах, аналогично квазистатическим, феноменологически описываются теорией линейной вязко-упругости, базирующейся на принципе суперпозиции Больцмана, а также решением реологических уравнений состояния линейных вязко-упругих и упруго-вязких механических моделей. В данном разделе эти подходы и методы обобщены применительно к основным типам динамических механических режимов, причем основное внимание уделено вынужденным гармоническим колебаниям, параметры которых связаны простыми соотношениями с соответствующими параметрами вязко-упругого и упруго-вязкого поведения при других динамических режимах.

а) Вынужденные гармонические колебания.

При динамических условиях нагружения и деформирования в режиме вынужденных гармонических колебаний процессы механической релаксации в вязко-упругих и упруго-вязких средах проявляются в отставании по фазе периодической деформации от прикладываемого напряжения и в опережении по фазе периодическим напряжением задаваемой деформации с обратимым накоплением упругой энергии деформирования и необратимым рассеянием ее части в виде тепла (диссипацией энергии, или механическими потерями) в каждом цикле колебаний. Взаимосвязи между периодическим напряжением и деформацией описываются в терминах комплексных чисел, что облегчает математические выкладки [Малк.с.72]. Как и в предыдущем разделе здесь основные соотношения даются в параметрах сдвига, связи которых с параметрами других видов нагружения и деформирования даны в соотношениях (2.4).

Если в вязко-упругой или упруго-вязкой среде задается периодическая деформация, изменяющаяся по гармоническому закону косинуса или синуса , где γ ₀ – амплитудное значение деформации, ω - круговая частота, связанная с периодической частотой соотношением ω =2π ν, то реакцией среды является возникновение переменного напряжения, опережающего по фазе задаваемую деформацию. При этом переменное напряжение разлагается на два компонента – совпадающий по фазе с изменением деформации и опережающий ее на угол δ:

, (2.24)

где G₀ - мгновенный модуль упругости; τ ΄ ₀ - амплитудное значение компонента напряжения, опережающего о фазе деформации на угол δ. В качестве основных параметров вязко-упругости при этом используются реальный (G΄) и мнимый (G΄ ΄) компоненты комплексного динамического модуля G*, а также отношение , не зависящие от амплитудных значений τ и γ и являющиеся (в изобарно-изотермических условиях и при соблюдении условий линейной вязко-упругости) функцией частоты:

, (2.25)

где G∞ - равновесный (остаточный) модуль упругости, не зависящий от частоты. При переходе к тригонометрическим функциям: , . Абсолютное значение комплексного модуля при этом равно:

(2.26)

Если к вязко-упругой и упруго-вязкой среде по гармоническому закону прикладывается напряжение , где τ ₀ – его амплитудное значение, то развиваемая переменная деформация складывается из трех компонентов:

а) мгновенной деформации γ ₀, совпадающей по фазе с напряжением и равной произведению J₀ , где J₀ - мгновенная податливость;

б) деформации, запаздывающей по отношению к напряжению на угол δ и равной , где γ ΄ ₀ – амплитудное значение этой деформации;

в) деформации вязкого ньютоновского течения, противоположной по фазе напряжению и равной , где η ₀ – коэффициент начальной вязкости.

Алгебраическая сумма этих компонентов дает выражение для периодической деформации:

(2.27)

Для обобщенного описания динамического поведения вязко-упругой и упруго-вязкой сред при этом используется реальный (J’) и мнимый (J”) компоненты комплексной динамической податливости J* а также отношение , также как в случае приложения переменной деформации не зависящие от амплитудных значений τ и γ и являющиеся (в изобарно-изотермических условиях и при соблюдении условий линейной вязко-упругости) функцией частоты:

(2.28)

При переходе к тригонометрическим функциям: , . Очевидно, что , однако J΄ (ω)≠ и J΄ ΄ (ω)≠ . Если при заданной частоте J₀‹‹J΄, G∞ ‹‹G΄ и ‹‹J, то для этой частоты получаются следующие соотношения между компонентами комплексной податливости и комплексного модуля:

; (2.29)

При приложении по гармоническому закону напряжения к резко выраженной упруго-вязкой среде в качестве обобщенной характеристики ее упруго-вязких свойств удобнее использовать комплексную вязкость η * и ее реальный и мнимый компоненты как функции частоты, связанные между собой соотношением:

, (2.30)

где η ΄ (ω)= sinδ - параметр динамической упругости; η ΄ ΄ (ω)= cosδ и – параметры динамической вязкости и механических потерь соответственно.

Компоненты комплексной вязкости связаны с компонентами комплексного модуля простыми соотношениями:

η ’(ω)= ; η ”(ω)= (2.31)

Таким образом, определяемые в динамических режимах реальные компоненты комплексного динамического модуля и податливости, а также мнимый компонент комплексной динамической вязкости характеризуют линейные соотношения между совпадающими по фазе компонентами напряжения и деформации, т.е. упругие свойства вязко-упругих и упруго-вязких сред, и определяют величину обратимо накапливаемой и превращаемой в работу упругой энергии, равной для единицы объема за один цикл колебаний:

(2.32)

Мнимые компоненты комплексного динамического модуля и податливости, а также реальный компонент комплексной динамической вязкости характеризуют линейные соотношения между несовпадающими по фазе компонентами напряжения и деформации, т.е. вязко-текучесть вязко-упругих и упруго-вязких сред, и определяют величину необратимо рассеиваемой энергии, равной для единицы объема за один цикл колебаний:

, (2.33)

где γ ₀ и τ ₀ - амплитудные значения периодических напряжений и деформаций соответственно. Отношение .

Так как компоненты комплексного динамического модуля, податливости и вязкости связаны между собой, далее их частотные зависимости и другие соотношения даются только для компонентов комплексного динамического модуля.

Функции G΄ (ω) и G΄ ΄ (ω) могут быть получены в теории линейной вязко-упругости Фурье-преобразованием соотношений Больцмана-Вольтерра для квазистатических режимов (уравнения 2.5-2.6). Фурье-преобразования позволяют при этом получать соотношения, связывающие комплексные динамические модули, податливости, коэффициент вязкости и их компоненты как функции частоты с соответствующими квазистатическими параметрами как функциями времени. Так, функция G*(ω)) связана с функцией G(t) соотношением:

(2.33а)

Связь функций G΄ (ω) и G΄ ΄ (ω) с G(t) через синус- и косинус-преобразования Фурье:

(2.33б)

, (2.34в)

что позволяет рассчитывать динамические вязко-упругие функции по известным квазистатическим. Обратное преобразование Фурье дает функции, связывающие G(t) с G*(ω), G΄ (ω) и G΄ ΄ (ω):

(2.35а)

(2.35б)

(2.36)

Учет времени релаксации в функциях G΄ (ω) и G΄ (ω) наиболее просто осуществляется решением реологических уравнений состояния линейных вязко-упругих или упруго-вязких моделей для периодически прикладываемого напряжения или деформации. Так, для трех элементной модели стандартного вязко-упругого тела (см. Рис.2.2) при отсутствии вязкого течения и при одном времени релаксации θ эти функции имеют вид:

(2.37 а)

; (2.37 б)

; (2.38)

(при G∞ =0 ), (2.39)

где .

Вид этих функций, схематически изображенных на Рис.2.4 в логарифмической шкале, показывает, что наиболее резко частотные зависимости G΄ (ω), G΄ ΄ (ω) и tgδ проявляются в пределах одного десятичного порядка вблизи произведения ω θ =1, где функция G΄ (ω) претерпевает перегиб. При ω → 0 она стремится к G∞, а при ω → ∞ - к G₀, т.е. в области частот или времен релаксации, в которой произведение ω θ → 1, вязко-упругие модели, по аналогии с квазистатическими условиями нагружения и деформирования, претерпевают релаксационный переход из одного реологического состояния в другое (от преимущественно мгновенно упругих к преимущественно замедленным упругим деформациям).

Рис.2.4. Схематическое изображение функций G’(ω), G”(ω) и tgδ (ω) вязко-упругого тела с одним временем релаксации в логарифмических координатах.

Функции G”(ω) и tgδ (ω) при ω θ, близком к единице, проходят через максимум, а при ω → 0 и ω → ∞ стремятся к 0. Максимум функции G΄ ΄ (ω) соответствует ω θ =1, а его высота . Максимум функции tgδ (ω) соответствует ω θ ₁=1, где , а его высота .

Для обобщенной модели линейного вязко-упругого тела, представляющей собой бесконечное число параллельно соединенных элементов Максвелла и одной мягкой пружины с модулем G∞ и имеющей бесконечный набор (спектр) времен релаксации, функции G΄ (ω) и G΄ ΄ (ω), аналогично квазистатическим функциям G(t), выражают или в дискретной, или интегральной формах (см. уравнения 2.15 и 2.17), соответственно, как сумму вкладов отдельных элементов или с использованием подинтегральной непрерывной функции распределения времен релаксации F(θ):

(2.40)

(2.41а)

(2.42а)

Функция распределения времен релаксации F(θ), как уже указывалось при анализе квазистатических режимов (см.с.7-8), представляет собой набор точек с аргументом θ _k и ординатами G΄ _k и G΄ ΄ _k и является обобщенной характеристикой вязко-упругости среды при динамических гармонических режимах, причем выражение F(θ)dθ имеет размерность модуля. Определить эту функцию при динамических режимах можно по известным кривым G΄ (ω) или G΄ ΄ (ω) в широком интервале частот, которые, в свою очередь, можно получить по экспериментальным данным для сравнительно узкого интервала ω, но в широком интервале температур с использованием принципа температурно-временной аналогии для построения так называемых «обобщенных» кривых G΄ (ω) или G΄ (ω) (см.раздел….). При использовании таких кривых в логарифмической шкале частот уравнения (2.41а) и (2.42а) записываются с использованием логарифмической функции распределения времен релаксации H(θ), равной θ F(θ):

(2.41б)

(2.42б

Для приближенной оценки функций F(θ) и H(θ) по кривым G΄ (ω) или G΄ (lnω) подинтегральное выражение в уравнении (1.38) заменяют на ступенчатую функцию, и функции F(θ) и H(θ) определяют по наклону кривых G΄ (ω) или G΄ (lnω) в точке, в которой ω θ =1. [Тоб.с.126].

б) Монотонная нагрузка/разгрузка с заданной скоростью

При монотонном нагружении с постоянной скоростью деформирования V_d кривая напряжение – деформация τ (γ) для модели стандартного вязко-упругого тела (см.Рис.2.2а) описывается соотношением [Фр.с.218]:

(2.43)

В полном цикле нагрузки/разгрузки кривые τ (γ) образуют гистерезисную петлю, площадь которой соответствует энергии деформирования Δ W, необратимо рассеиваемой за цикл, а общая площадь под кривой разгрузки – упругой энергии W, обратимо накапливаемой в цикле нагружения:

; (2.44)

Отношение Δ W к W определяет коэффициент гистерезисных потерь κ, связанный с тангенсом угла механических потерь при гармонических колебаниях соотношением:

, (2.45)

т.к. при малом δ sinδ ≈ tgδ.

Кажущийся модуль упругости в цикле нагрузки/разгрузки определяется по наклону касательной к соответствующей кривой в заданной точке. Коэффициент гистерезисных потерь и кажущийся модуль упругости являются функциями скорости деформирования при нагружении или разгрузке. При , где γ – заданная относительная деформация, θ – время релаксации напряжения, наблюдается максимум коэффициента гистерезисных потерь и перегиб на кривой G(V_d). При V_d→ 0 G(V_d)→ G∞, а при V_d→ ∞ G(V_d)→ G_0. Коэффициент κ (V_d) в обоих случаях стремится к 0.

в) Свободно-затухающие колебания

Свободно-затухающие колебания описываются как колебания классического осциллятора единичного объема, связанного с внешней массой m. На практике режимы свободно-затухающих колебаний обычно реализуют с помощью крутильных или изгибных («язычковых») маятников. В резко выраженных упруго-вязких средах затухание таких колебаний происходит практически мгновенно, поэтому эти режимы для их исследований не применяются. Применительно к вязко-упругой среде в виде модели стандартного вязко-упругого тела (см. Рис.2.2а) уравнение движения при свободных затухающих колебаниях имеет вид [Тоб.с.109]:

, (2.47)

где η _d и G_d - динамические вязкость и модуль упругости как функции скорости деформирования или частоты колебаний.

Решение уравнения (2.47) для деформации как функции времени после придания модели начальной деформации γ (0) имеет вид:

, (2.48)

В этом уравнении круговая частота свободно-затухающих колебаний, не зависящая для линейной вязко-упругой модели от амплитуды колебаний, связана с G_d и η _d соотношением:

(2.49)

При малом вкладе вязкого компонента (η _d→ 0) для заданной частоты:

G_d= =G΄ =η ”ω (2.50)

Отношение амплитуд последовательных колебаний системы описывается экспонентой:

(2.51)

Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания свободных колебаний Δ:

(2.52)

Декремент затухания для линейной вязко-упругой модели связан с коэффициентом гистерезисных потерь при циклической нагрузке/разгрузке κ и tgδ при гармонических колебаниях следующими соотношениями:

Δ =κ =2π tgδ (2.53)

Непосредственная связь параметров вязко-упругости в режиме свободно затухающих колебаний для линейных вязко-упругих тел с соответствующими параметрами динамических механических свойств в режиме гармонических колебаний позволяет перенести все соотношения для частотных зависимостей этих свойств на параметры свободно-затухающих колебаний.

г) Распространение и поглощение упругих (звуковых и ультразвуковых) колебаний (волн)

При распространении упругих колебаний в линейной вязко-упругой среде в направлении оси x уравнение, описывающее смещение частиц среды в этом направлении Y(x), имеет вид уравнения движения плоской волны со скоростью с [Френк.с.230]:

, (2.54)

где Y₀ – начальная амплитуда колебаний; α –коэффициент затухания волны (поглощения звука) по расстоянию; ω – круговая частота (ω =2π ν, ν – периодическая частота); k =2π /λ – волновое число (λ – длина волны).

Скорость распространения упругих волн при этом равна: с=ν λ (2.55)

Ее величина в изобарно-изотермических условиях определяется упругими параметрами среды, зависящими от частоты, а также типом упругих колебаний – продольных (с растяжением/сжатием среды) и поперечных (сдвиговых). В неограниченной сплошной среде, в которой реализуется объемно-напряженное (плоско-деформированное) состояние, скорости продольных (с_l) и сдвиговых (с_t) волн равны и связаны с реальными компонентами динамических комплексных модулей при объемном растяжении/сжатии (К΄) и при сдвиге (G΄), а также с плотностью среды ρ соотношением:

(2.56)

При распространении упругих колебаний в тонких стержнях, в которых реализуется плоско-напряженное состояние, скорость распространения продольных и поперечных волн определяются только соответствующими динамическими модулями упругости (E΄ и G΄ соответственно) и плотностью среды:

; (2.57)

Для сдвиговых волн с учетом функции G΄ (ω) (уравнение 2.37) при условии что G∞ < G₀ выражение для частотной зависимости скорости звука имеет вид:

(2.58)

где ; - скорости звука при очень высоких (ω → ∞) и низких(ω → 0) частотах. Эта функция, как и G΄ (ω) претерпевает перегиб при ω θ =1.

Коэффициент вязко-упругого затухания упругих колебаний и волн по расстоянию α также является функцией частоты и при заданной частоте связан с параметрами механических потерь при гармонических колебаниях следующими соотношениями:

(2.59)

С учетом уравнений (2.38) и (2.59) функцию α (ω) можно получить в следующем виде:

, (2.60)

где - коэффициент затухания звука как функция частоты на одну длину волны. Эта функция, как и показатели механических потерь при гармонических колебаниях, проходит через максимум при ω θ =1.

Кроме коэффициента затухания звука по расстоянию используется также показатель, характеризующий затухание звуковых колебаний и волн во времени – коэффициент β (ω). Коэффициенты α и β связаны между собой (при одинаковой частоте) соотношением:

(2.61).