Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задачи фильтрации и методы ее реализации
Сигнал, несущий полезное сообщение, принимаемый в аддитивной смеси со случайной помехой, сам является случайным сигналом. Отсюда возникает проблема оптимального выделения случайного сигнала на фоне случайной помехи. Эта проблема распадается на ряд частных задач в зависимости от требований приложений результатов обработки. Можно определить наиболее характерные задачи фильтрации. 1. В силу ограниченности времени наблюдения в процессе обработки принимаемого колебания (смеси) находится не сам полезный сигнал, а его оценка, при этом ставится задача нахождения формы полезного сигнала с минимальными искажениями полезного случайного сигнала s(t). Мерой качества фильтрации при этом может служить средний по множеству реализаций квадрат отклонения оценки сигнала , полученный на выходе системы обработки (фильтра), от истинной формы полезного сигнала, т.е. дисперсия оценки: . (5.24) Критерием оптимальности отвечает минимизация оценки . Относительно располагаемых реализаций случайного полезного сигнала можно различить два случая: а) наблюдения фиксированной длительности Т, когда обрабатываемое колебание задано (записано) на фиксированном отрезке [0, T], при этом возможно его многократное воспроизведение для обработки (встречается в условиях научного эксперимента, в разведке и т.д., б) текущее наблюдение, когда оценка полезного сигнала осуществляется в реальном текущем времени [0, t]. Кроме того, возможна в некоторых приложениях ситуация, когда отыскивается оценка на интервале времени, не совпадающем с интервалом наблюдения, т.е. при наблюдении процесса y(t) = s + n находится оценка , когда τ = 0, то решается задача текущей фильтрации, при τ > 0 – задача фильтрации с упреждением (предсказанием) или задача экстраполяции, при τ < 0 – задача фильтрации с запаздыванием или задача интерполяции (сглаживания). 2. При необходимости определения только наличия или отсутствия сигнала наилучшим критерием оптимальности фильтрации, а значит и постановки задачи фильтрации, является отыскание максимального отношения сигнал/помеха. Эта задача имеет самое широкое применение в системах связи, передачи информации. При обсуждении вопросов фильтрации различают два ее вида: линейную и нелинейную фильтрацию. При линейной фильтрации сигналы претерпевают только линейные преобразования: усиление, суммирование, дифференцирование, интегрирование. Процессы в линейной фильтрации описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеется линейная связь между изменениями входного и выходного сигналов и справедливость принципа суперпозиции. Эти свойства присущие только линейным цепям, упрощают как реализацию, так и математическое описание линейных фильтров, что привело к выделению их в самостоятельный класс фильтров, получивших широкое применение. Понятно, что, ограничиваясь применением только линейных фильтров, мы существенно снижаем свои возможности, т.к. в иных случаях нелинейная фильтрация может быть более оптимальной и дать лучший результат. При нелинейной фильтрации осуществляются нелинейные преобразования сигналов (перемножение, возведение в степень и др.). Выходной сигнал нелинейного фильтра, в общем случае, определяется нелинейным дифференциальным уравнением. Нелинейная обработка сигналов в ряде случаев позволяет получить более высокие показатели качества обработки, чем линейная, а иногда является единственно возможной формой обработки сигналов. Например, в случае, когда информационными параметрами являются фаза или частота сигнала, в силу нелинейной зависимости реализации сигнала от фильтруемого параметра может использоваться только нелинейная фильтрация. При этом оптимальными оказываются следящие фильтры (устройства фазовой или частотной автоподстройки частоты).
Литература: [1] стр. 208-209. [2] стр. 180. [3] стр. 174.
Контрольные вопросы: 1. В чем заключается задача фильтрации сигнала? 2. Какие задачи решают оптимальные фильтры? 3. Как определяется оптимальность фильтра? 4. В чем разница между линейной и нелинейной фильтрацией? 5.10.2. Оптимальная линейная фильтрация по критерию Комплексный спектр полезного сигнала . (5.25) Обозначим передаточную функцию оптимального фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в некоторый момент времени t0 . (5.26) Значения отдельных спектральных составляющих полезного сигнала s(t) в момент t0: . Из физических соображений очевидно, что оптимальная фазочастотная характеристика фильтра φ ф(t) соответствует сведению к нулю в момент t0 фаз всех спектральных составляющих полезного сигнала на выходе фильтра. В этом случае обеспечивается максимальное значение выходного сигнала, поскольку все спектральные составляющие суммируются с одинаковой фазой, т.е. их амплитуды просто складываются. , для этого , т.е. . (5.27) Дисперсия шума не зависит от фазочастотной характеристики фильтра, т.к. определяется энергетическим спектром на выходе фильтра, который не зависит от фазы спектральных составляющих. Для определения амплитудно-частотной характеристики фильтра , максимизирующей отношение мощностей сигнала и шума на его выходе в момент t0, оценим вклад в каждую из этих мощностей элементарных участков спектра df. Вклад участка спектра сигнала df в величину Uвыхmax(t0) равен: и соответствующий вклад в выходную мощность полезного сигнала: dPsвых . Выходная мощность шума, приходящаяся на участок спектра df: dPnвых . Отношение по всей полосе частот и тогда отсюда . Опуская несущественный масштабный коэффициент k, получаем выражение для комплексной характеристики оптимального фильтра: , где S*(f) – комплексный сопряженный спектр сигнала. В случае, когда на выходе белый шум и . (5.28) Таким образом, фильтр должен быть согласован (комплексно сопряжен) со спектром полезного сигнала (сомножитель не влияет на форму выходного сигнала, а только определяет задержку t0 момента достижения максимума). Такие фильтры получили название согласованных или оптимальных линейных фильтров. Определим максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра при действии белого шума. Es – энергия полезного сигнала. или для прямоугольного импульса Es = A2 × τ u. Средняя мощность шума на выходе фильтра: . При оценке энергии шума в полосе от -∞ до +∞ спектральная плотность выражается . Тогда отношение по мощности: . (5.29) По напряжению отношения сигнал/шум будет: . (5.30) Это результат для белого шума (5.28), если шум не белый, то: . (5.31) Отсюда видно, что для обработки смеси необходимо небелый шум привести к белому, произвести " отбеливание" шума.
Рис. 5.8
Рассмотрим для примера согласованный фильтр для сигнала вида прямоугольного видеоимпульса.
.
Спектральный состав видеоимпульса: . (5.32) Комплексно-сопряженный спектр S*(jω) получаем при замене знака перед j: . Определим частотную характеристику согласованного фильтра в соответствии с выражением (5.28): . Последний сомножитель определяет задержку t0, которая означает, что искомое максимальное отношение сигнал/шум наступает только в момент t0. Считая, что энергия сигнала существует во время от 0 до τ u (далее она равна нулю), принимаем величину задержки отсчета на выходе фильтра равной длительности импульса, т.е. t0 = τ u, тогда . (5.33) Получена комплексная частотная характеристика, в которой А – амплитудное значение импульса; 1/jω – отражает частотную характеристику интеграла; - представляет задержку на τ u. Структурная схема согласованного с видеоимпульсом фильтра будет:
Рис. 5.9
Действующее напряжение в схеме:
Рис. 5.10
При этом оказывается, что искаженная форма выходного сигнала имеет общую длительность в 2τ u, максимальное значение выходного сигнала достигается в точке t0 = τ u. В этот момент на выходе фильтра отношение сигнал/шум будет максимальным именно в этот момент времени следует произвести отсчет сигнала на выходе фильтра. Вместе с тем, спектральный состав видеоимпульса можно получить и в иной форме (см. лекцию 1): S(jω) = A sin(ω τ u/2). (5.34) Разделив комплексный спектр на амплитудно-частотный и фазово-частотный получим графики (рис. 5.11)
Рис. 5.11
Литература: [1] стр. 208-214. [2] стр. 180-186. [3] стр. 174-181.
Контрольные вопросы: 1. Почему согласованный фильтр называют оптимальным? 2. Почему оптимальный фильтр называют согласованным? 3. Какая форма сигнала на выходе согласованного фильтра? 4. Чему равно отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?
|