Масштабы и искажения

Учитывая, что эллипсоид вращения, сфера и плоскость имеют разные меры кривизны, при их отображении друг на друга всегда будут возникать искажения в длинах, углах, площадях.

– мера кривизны эллипсоида; – мера кривизны сферы; 0 – мера кривизны плоскости

На каждой карте следует различать три масштаба:

1) μ - масштаб длин или частно-линейный масштаб

2) p – масштаб площадей

3) m – главный или общий масштаб

Это величины, которые характеризуют искажения.

Масштаб длин (μ) – это отношение бесконечно малого линейного отрезка, взятого на плоскости в данной точке по данному направлению к соответствующему бесконечно малому линейному отрезку на поверхности:

(1.4)

Этот масштаб является функцией положения точки и в общем случае изменяется в окрестности этой точки в зависимости от направления. Естественно считать, что чем меньше изменения масштаба в окрестности данной точки, тем проекция совершенней.

Масштаб площадей (p) – отношение элементарной площадки на плоскости к соответствующей элементарной площадке на поверхности

(1.5)

Этот масштаб является функцией положения точки и не зависит от направления.

Главный масштаб (m) – это степень уменьшения земной поверхности при изображении ее на плоскости. Этот масштаб никакого влияния на величины и характер распределения искажений не оказывает.

Величина искажений будет определяться принятым законом отображения, т.е. картографической проекцией.

При изображении любой произвольной поверхности на другую с точностью до бесконечно малых величин, бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида (сферы) изображается на другой поверхности (плоскости) бесконечно малым эллипсом.

В частных случаях, а именно в равноуголных (конформных) проекциях, в которых частные масштабы длин вдоль меридианов и параллелей равны (m=n), бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида (сферы) изображается на плоскости подобной бесконечно малой окружностью.

Отметим, что для геометрической интерпретации искажений удобнее использовать не бесконечно малые, а конечные величины. Исходя из этого, эллипсом искажений (индикатриссой Тиссо) назвали эллипс конечных размеров, при радиусе окружности равном 1, соответствующий бесконечно малому эллипсу.

Эллипс искажений (индикатрисса Тиссо) – эллипс конечных размеров, каждый радиус-вектор которого равен масштабу длин в точке по данному направлению и оси которого совпадают с главными направлениями.

Следующие формулы определяют форму и размеры эллипса искажений:

(1.6)

(1.7)

a, b - главные направления

m, n - масштаб длин по меридианам и параллелям

θ - угол между меридианами и параллелями

Эллипс искажений используется для показа величины искажений в разных точках картографической сетки. Главные направления не совпадают с направлениями меридиана и параллели. Они будут совпадать с ними только в том случае, если угол между меридианом и параллелью равен 90°. Поэтому эллипсы искажений характеризуют не только величину искажений длин, но и характер размещения искажений в данной точке по направлениям.

Для наглядного показа распределения искажений на картографической сетке, кроме эллипсов искажения, строят линии, соединяющие точки с одинаковыми значениями искажений углов или площадей, так называемые изоколы.