Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Смешанное произведение векторов. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Теорема. Объем v параллелепипеда, построенного на векторах е 1 , е 2, е 3 , с общим началом, выражается равенством . (1.1.16.) Положительный либо отрицательный знак выбирается в зависимости от того, образуют ли векторы-сомножители правую или левую тройку.
Если е 1 , е 2, е 3 образуют левую систему, то тройка е 2, е 1 , е 3 будет правой. Поэтому , в соответствии с только что доказанной теоремой. В скалярном тройном (смешанном) произведении скобки можно опустить. Операция векторного умножения тогда должна быть выполнена первой и только затем уже производится скалярное умножение. Из проведенного доказательства видно, что смешанное произведение не изменяется при любой циклической перестановке векторов и умножается на -1 при перемене места двух векторов. Кроме того, эта величина сохраняется при перестановке символов «» и «» и становится равной нулю, когда два вектора-сомножителя равны или параллельны, либо когда один из векторов является линейной комбинацией двух других. В любом из трех последних случаев все три вектора будут компланарны, и объем параллелепипеда окажется равным нулю. Все перечисленные свойства можно выразить записью или 0, (1.1.17.) в соответствии с тем, будет ли подстановка 1, 2, 3 четной или нечетной, два или три из чисел i, j, k окажутся одинаковыми. Сказанное справедливо, когда е 1, е 2, е 3 образуют правую систему. 1.1.18. Взаимные векторы е 1, е 2, е 3 Для неортогонального базиса оказывается удобным ввести три вектора е 1, е 2, е 3 с помощью определений , , , (1.1.18.) где е 1, е 2, е 3 образуют правую тройку. Формулы (1.1.18.) можно представить в обобщенной записи (1.1.19) в этих уравнениях объем базисного параллелепипеда v выражается уравнениями (1.1.16) и (1.1.17) Определенные таким способом векторы e i называются взаимными по отношению к системе e i. Векторы, очевидно, нормальны к граням базисного параллелепипеда. Следовательно, они линейно независимы и некомпланарны. Наиболее важное свойство векторов e i выражается равенством (1.1.20) Им фактически можно воспользоваться (взамен (1.1.19.)) как определением взаимных векторов e i (при заданных e i) либо e i (когда известны e i). Уравнение (1.1.20) является обобщением (1.1.10) и доказывается непосредственно скалярным умножением системы (1.1.19) на e i, т. е. в соответствии с (1.1.17). Если е 1, е 2, е 3 образуют левую тройку, то для сохранения в силе (1.1.20) в определении (1.1.19) следует изменить знак. В последующем мы для определенности будем пользоваться правой системой е 1, е 2, е 3, если только противоположное не будет оговорено особо. Из (1.1.15) и (1.1.19) замечаем, что величины v е 1, v е 2, v е 3, представляют собой направленные во внутрь объема ареальные векторы граней ОР 2 Р 3ַ, ОР 3 R 1, ОР 1 Р 2 базисного параллелепипеда (рис. 1.1.7). В качестве простейшего примера применения взаимных векторов e i рассмотрим вывод соотношений для коэффициентов ri в разложении (1.1.8.) произвольного вектора r по осям базиса e i. Скалярным умножением обеих частей формулы (1.1.8.) на e j и подстановкой (1.1.20) приходим к следующему обобщению формулы (1.11): r е i = , i = 1, 2, 3. (1.1.21) 1.1.19. Ковариантные и контравариантные координаты вектора.
стороны, если мы изменим одну из контравариантных компонент без изменения двух других, то мы сразу же узнаем, на сколько и в каком направлении переместится точка. Это не очевидно при изменении одной ковариантной компоненты. Поэтому обе системы имеют свои достоинства
|