Часть 1 – 1 семестр

15. Простые и двойные суммы. Их Свойства. Линейные преобразования неизвестных; их умножение. Получить вид матрицы произведения линейных преобразований.

16. Умножение матриц, его свойства. Единственность единичной матрицы. Доказать отсутствие обратных матриц у вырожденных матриц.

17. Обратная матрица (существование, единственность).

18. Решение матричных уравнений вида AX=B, XA=B. Теорема Крамера.

19. Алгебраические операции. Примеры. Группы, кольца (определения, примеры). Делители нуля. Возможность сокращения.

20. Поле. Следствия из аксиом. Отсутствие делителей нуля. Характеристика поля; ее простота. Подполя и расширения полей. Изоморфизм колец (полей).

21. Кольцо многочленов от одной переменной. Степень произведения. Отсутствие делителей нуля. Многочлены, имеющие обратные.

22. Алгоритм деления с остатком (доказать единственность). Делители многочлена. Доказать свойства делимости (не менее 5 свойств).

23. НОД. Доказать алгоритм Евклида. Сформулировать его следствие.

24. Число НОД двух многочленов. Взаимно простые многочлены; их свойства.

25. Корни многочленов. Деление на (x-c). Теорема Безу. Метод Горнера. Теорема Виета.

26. Кратные корни. Производная многочлена; ее степень. Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании. Следствия.

27. Число корней многочлена в произвольном поле. Равносильность двух понятий равенства. Формулировка теоремы существования корня. Следствия. Поле разложения.

28. Сформулировать основную теорему алгебры комплексных чисел. Разложение на линейные множители над полем C. Число корней многочлена с комплексными коэффициентами. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем C.

29. Доказать сопряженность корней многочлена с действительными коэффициентами. Следствия. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем R.

30. Отделение корней C. Критерий отсутствия кратных корней.

31. Определение линейного пространства. Некоторые следствия из аксиом. Основные примеры линейных пространств.

32. Два определения линейной зависимости. Их равносильность. Примеры. Связи между линейной зависимостью системы и её подсистем.

33. Теорема о максимальных линейно независимых подсистемах (о базисах). Примеры.

34. Основная теорема о линейной зависимости.

35. Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечных систем векторов.

36. Конечномерные линейные пространства (определение, примеры). Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств.

37. Изоморфизм линейных пространств; его свойства; примеры. Теорема об изоморфизме.

ч1.Вопрос15. Простые и двойные суммы. Их Свойства. Линейные преобразования неизвестных; их умножение. Получить вид матрицы произведения линейных преобразований.

Опр.: Сумма вида , где i – индекс суммирования, называется простой суммой. Пример: ■ Свойства простых сумм:

1.Простая сумма не зависит от обозначения индекса суммирования.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак суммы. , с не завис-т от i

Двойные суммы. Сумма простых сумм обозн-ся = a₁₁+a₁₂+..+a₂₁+a₂₂+..+a_kn всего слагаемых n*k. Пример: . Свойства двойных сумм: 1, 2 такие же как и у простых. 3. порядок сумм можно менять, для доказательства достаточно заметить, что справа и слева стоят суммы всех эл-тов a_ij■

Матрицы линейных преобразований неизвестныхОпр1: пусть даны 2 системы неизв-х:

x₁ x₂ x₃ x_n (1) старые неиз-е. y₁ y₂ y₃ y_n (2) новые неизв-е.

Переход от старых неиз-х к новым которые совершаем по формулам x₁=a₁₁y₁+a₁₂y₂+..+a_1ny_n; x₂=a₂₁y₁+a₂₂y₂+…+a_2ny_n; x_n=a_n1y₁+a_n2y₂+..+a_nny_n – наз-ся линейный преобразованием неизвестных, числа a_ij считаем комплексными.

Опр2: Матрица А состоящая из a_ij называют матрицей линейного преобразования.

Пример: x₁=3y₁-y₂+3y₃; x₂=y₁-y₃; x₃=4y₂+y₃;

Матрица определяет 1 линейное преобразование (ЛП) и обратное не является ЛП.

Опр3: Два линейных преобразования неизв-х называют равными, если равны их матрицы т.е. в записи линейного преобр-я обозначения неизвестных роли не играют.

Опр4: Линейное преобр-е неизв-х которое получается в результате последовательного выполнения двух линейных преобр-й называется произведением этих преобразований.

x1, x2.. xn (1) y1, y2.. yn (2)

(3)

z₁, z₂..z_n

(4)	Чтобы сов-ть последов-но лин-е преобр-я (3) (4) надо выразить yi из (4) и подставить в (3), чтобы их перес. yi (4)-> (3)

=> x_i=a_i1y₁+a_i2y₂+..+a_iny_n= из (4) y_k выраж-ся через переменную z_n; y_k= ; x_i= ; Поменяем местами порядок суммирования => ;

C=A*B; ; Элементы i – строки умн-ся на эл-ты j столбца и элементы складываются. ■

Пример:

С₁₁= =1*0+2*(-1)+3*1=1…С₁₂

Свойства умножения матриц:

1. Умножение матриц не коммутативно. AB¹ BA

2. Умножение матриц ассоциативно. A(BC)=(AB)C

3. $ единичная матрица. AE=EA=A, для " A – квадратной матрицы.

Матрица тождественного перобр-я имеет вид

ч1.Вопрос16. Умножение матриц, его свойства. Единственность единичной матрицы. Доказать отсутствие обратных матриц у вырожденных матриц.

Умножение матриц, его свойстваОпр: Произведением матрицы А размеров mxn на матрицу В размеров nxk называется матрица С размеров mxk, элементы которой вычисляются по формуле .

C=A*B; ; Элементы i – строки умн-ся на эл-ты j столбца и элементы складываются(кол-во строчек как в 1 матрице, столбцов 2). ■

Пример:

С₁₁= =1*0+2*(-1)+3*1=1…С₁₂

Свойства умножения матриц:

1. Умножение матриц не коммутативно. AB¹ BA

2. Умножение матриц ассоциативно. A(BC)=(AB)C

3. $ единичная матрица. AE=EA=A, для " A – квадратной матрицы.

Матрица тождественного перобр-я имеет вид ■

Отсутствие обратных матриц у вырожденных матриц:

Опр: Пусть задана кв. матрица n-го порядка. Матрица A^-1 называется обратной матрицей А, если A^-1*A=A*A^-1=E.

Теорема: У вырожденных матриц обратных не существует. Док-во: пусть |A|=0 предположим что Т. не верна и $ A^-1 A^-1*A=A*A^-1-E, тогда |A^-1*A|=|A^-1|*|A|=0

|A^-1*A|=|E|=1 получили противоречие и предположение о существовании обратной не верно. ■.

Единственность единичной матрицы: Единичная матрица n-го порядка единственна. Док-во: пусть E и E’ – две единичные матрицы. E*E’ = ■.

ч1.Вопрос17. Обратная матрица (существование, единственность).

Опр: Пусть задана кв. матрица n-го порядка. Матрица A^-1 называется обратной матрицей А, если A^-1*A=A*A^-1=E.

Нахождение: 1 – Находим А* - присоединенную матрицу элементами которой явл-ся алгебраические дополнения. 2 – A^-1=(A₁₁/|A|…..) первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки.

Существование: для квадратных, невырожденных.

Единственность. Для док-ва единственности обратной матрицы сначала докажем единственность единичной. 1) Единичная матрица n-го порядка единственна. Док-во: пусть E и E’ – две единичные матрицы. E*E’ = ■.

2) Докажем единственность обратной матрицы: пусть для матрицы A $ две обратных A^{-1, C}, рассмотрим произведение A^-1*A*C= => С=A^-1 ■.

Теорема: Если матрица А имеет обратную, то |A|¹ 0 и |A^-1|=1/|A|. Док-во: по определению обратных матриц AA^-1=E, по свойству определителей |A^-1A|=|A^-1||A|=E |A^-1||A|=1 => |A^-1|=1/|A|.

Свойство: (AB)^-1=B^-1A^-1.

ч1.Вопрос18. Решение матричных уравнений вида AX=B, XA=B. Теорема Крамера.

Решение AX=B, XA=B.

1случай матрица А – квадратная и не вырожденная пусть |A|¹ 0, => A^-1

AX=B | * A^-1 слева A^-1AX=A^-1B => EX=A^-1B => X=A^-1B.

XA=B | * A^-1 справа XAA^-1=BA^-1 => XE=BA^-1 => X=BA^-1

2случай Матрица не явл-ся квадратной или не явл-ся невырожденной.

AX=B и A^-1 не сущ-ет, тогда проверяем согласуются ли между собой размерность, если соглас-ся, то расписываем матрицу Х как

Пусть в матрице А s – строк, t – столбцов

=> t=k число строчек матрицы X обязано совпадать с числом столбцов в матрице А. Число строчек в матрице произведения равно числу строк в матрице B. От последней матрицы переходим к системе л.а.у.(линейных алгебраических уравн-й) которую решаем по методу Гаусса. Может получится, что система не совместна, либо решение будет найдено и подставляем его в матрицу X.

Пример: ; =0, ¹ 0 => матрица Х не существует

Пример: ; |A|=-2¹ 0 => $A^-1; A₁₁=(-1)¹⁺¹2=2; A₁₂=-1; A₂₁=4; A₂₂=-3; A^-1= ; ; .

Теорема Крамера: Если матрица А линейной системы Ax=B квадратная и невырожденная, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам

где D=detA- определитель матрицы А (называемый также определителем данной системы); - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой i – го столбца (т. е. Столбца коэффициентов при x_i) столбцом В свободных членов.

Доказательство. Пусть n(порядок матрицы)=3;

D¹ 0 по условию => $A^-1 => $! решение x=A^-1B

Следствие 1: Если D однородной системы уравнений ¹ 0, то система имеет только нулевое решение.

Доказательство. по теореме Крамера

, аналогично

Следствие 2: Если однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет не нулевое решение то её определитель равен нулю.

Доказательство: от противного.

ч1.Вопрос19. Алгебраические операции. Примеры. Группы, кольца (определения, примеры). Делители нуля. Возможность сокращения.

Алгебраические операции

Сложение a+b – коммутативная, ассоциативная, обратимая

Деление a/b Z-незамкнутая. R-незамк-я. Не ассоциативна, не коммутативна, обратима.

НОД(a, b) Z-замкн-я, необратимая, коммутативная.

Умножение a*b – ассоциативная, коммутативная, обратимая.

Группы

Пусть задано G – множ-во с замкнутой операцией сложения(умн.) для которого выполняются аксиомы:

1) Операция ассоциативна (a*b)*c=a*(b*c)

2) Существует нейтральный элемент, для сложения 0(нулевой), для умножения – 1, выполняются свойства: a+0=0+a=a, " a прин. G; a*1=1*a=a, " a прин. G;

3) Существует против-й элемент для сложения и обратный для умножения.

Обратный " a прин. G; $ a^-1 прин. G; a*a^-1=a^-1*a=1

Противоположный " a прин. G; (-a) прин. G; a+(-a)=(-a)+a=0;

Примеры групп:

1) Множество четных чисел. Относительно обратного, данное множество не является группой тк не содержит 1. Будем проверять. Тк сумма 2 четных чисел есть четное число, то операции сложения замкнуты в множестве G. Ассоциативность сложения четных чисел выполняется как частный случай. Число 0 явл-ся четным и выполняет роль нулевого элемента для операции сложения. Тк число противоположное четному также явл-ся четным.

2) G={0} – группа по сложению, G={1} – группа, G={1, 0} – не группа по умножению.

Правила для G={1, 0} 1+0=0+1=1; 0+0=0; 1+1=1; против-й 0-> 0; 1-1 => группа

3) Множество невырожденных матриц n-го порядка. Группой по сложению данное множество быть не может тк сумма двух невырож-х матриц не может быть вырожденной. A+|-A|=0; |AB|=|A||B| замкнуто по умножению. Ассоциативность. Тк умножение матриц согласованных порядков ассоциативно, то и невырожденных матриц тоже ассоциативно. Роль единичного элемента выполняет единичная матрица.

- В зависимости от кол-ва элементов в группе G группы делят на конечные и бесконечные.

Прмеры: 1) G – множество четных чисел. Рассмотрим в нем множество чисел кратных 4. G₁< G (G₁ подгруппа G). Проверим что для операции сложения G₁ – группа. Замкнутость сумма двух чисел кратных 4 есть число кратное 4. т.к. сложение чисел ассоциативно, то данное множество обладает ассоц-ю по сложению. Число 0 является кратным 4. Противоположный элемент есть. G₁ является группой и входит в множество G. Еще множ-во чисел кратных 3 – не группа.

2) G – группа по сложению {Z}.

G₁={0} конечная G₂=0, 1, -1, 2..

Кольца

Множество К в котором определены две замкнутые алгебраические операции сложение и умножение называется кольцом.

1) K – группа по сложению.

2) a+b=b+a – для любого элемента кольца.

3) (a*b)*c=a*(b*c) –умножение ассоциативно.

4)(a+b)c=ac+bc; a(b+c)=ab+ac – выполняется дистрибутивный закон.

Для того чтобы K было группой по слож-ю не хватает единичного и обратного элемента.

Примеры:

Кольца 1) K=0 кольцо 2) Множ-во K=2 3) Множ-ва матриц n-го порядка.

4) K=Z 5) K-R

Делители нуля

Опр: Пусть K – кольцо, a¹ b¹ 0 но ab=0, тогда числа a и b называют делителями нуля в кольце К. Примеры: 1) Пусть К – множество непрерывных на отрезке [a, b] функций. Рассмотрим.

f(x) и g(x) не является нулевой на отрезке [a, b], но их произв-е есть нулевая f.

2) Кольца матрицы n-го порядка для любых матриц с опред-м = 0 можно составить матричное уравнение AX=0, |A|=0 – много решений или нет. подобрать делитель нуля.

3) Пример кольца без делителя нуля. К – множество всех целых чисел. a, b прин K. a, b прин K. ab=0; a=0 b=0 или a=b=0. ab=ac a¹ 0 b=c.

Возможность сокращения. Теорема. В кольце без делителей нуля можно проводить сокращение, то ab=ac, при a¹ 0 => b=c. Док-во: т.к. К-кольцо, то для " Эл-та найдется ему противоположный => для ассоц-ти $ (-ac) прин K

ab+(-ac)=ac+(-ac) по опред-ю противоп-го элем-та (-ac)=0 => a(b+(-c))=0, a¹ 0 Делителей нуля Кольца по условию нет => b=c. ■.

Замечание: Можно привести пример, что в кольце с делителями нуля сократить можно не всгда.

g(x)=v(x)=0

ч1.Вопрос20. Поле. Следствия из аксиом. Отсутствие делителей нуля. Характеристика поля; ее простота. Подполя и расширения полей. Изоморфизм колец (полей).

Опр: Полем называется множество P в котором определены операции + * (замкнуты) и выполняются следующие аксиомы:

1) Р – не нулевое кольцо.

2) Умножение коммутативно ab=ba, a, b прин Р.

3) Множество Р с исключенным нулем есть группа по умножению.

Примеры: Множество рациональных чисел, действительных, комплексных. C\R – не является полем. P={0} – не явл.

Опр: Пусть задано поле Р; подмножество Р’ – которое само явл-ся полем, тогда Р’ называют подполем поля Р, а Р – расширение поля Р’.

Следствия из аксиом? 1) $ единичный элемент, что a*1=1*a=a, для " a прин Р;

2) $ обратный элемент a^-1, что a*a^-1 =1, для " a прин Р;

3) для " a прин Р, a¹ 0, n прин Z; выполняется (a^-1)ⁿ=(aⁿ)^-1

Отсутствие делителей нуля – никакое поле не содержит делителей нуля – Док-во: пусть ab=0, но a¹ 0 | умножая обе части на a^-1 => слева (a*a^1-)b=1*b=b, справа а^-1*0=0, т.е. b=0. Отсюда следует что во всяком поле любое равенство можно сократить на общий множитель, отличный от нуля. В самом деле если ac=bc и c¹ 0, то (a-b)c=0, => a-b=0, т.е. a=b. ■.

Характеристика поля; ее простота. Будем обозначать сумму n – единиц 1+1+..+1=n*1. Наименьшее натуральное число n, такое что n*1=0 называется характеристикой поля. Если при любом n, n*1 не = 0, то говорят что характер-ка поля равна нулю.

Замечание: $ поля характеристики нуль. Прим: рац. числа, комплек-х, множ-во A{0, 1} характеристика 2.

Теорема: Если поле P имеет конечную характеристику n, то n простое число.

Замечание: Из Т. не следует сущест-е полей характе-ки p, где p – простое число, а следует лишь, что не существует полей составных характеристик.

Подполя и расширения полей.

Пусть в поле P некоторая часть его элементов, составляющая множество P’, сама оказывается полем по отношению к тем операциям, которые определены в поле Р, т.е. для " a, b прин P’ содержащиеся в поле P элементы a+b, ab, a-b и, при b¹ 0, a/b принадлежат к P’. Тогда P’ называется подполем поля Р, а Р – расширением поля P’. Понятно, что нуль и 1 поля Р будут содержаться в поле Р' и служить для P’ нулем и единицей. Так, поле рациональных чисел явл-ся подполем поля действительных чисел; все числовые поля будут подполями поля комплексных чисел.

Изоморфизм колец (полей). Два кольца К и К’ (поле Р и P’) называются изоморфными, если $ взаимно однозначное отображение и К-> K’ (P-> P’), что для " элементов из К (Р) выполняются равенства:

Существование суммы произведения, след-ет из аксиомы кольца (поля). Такое отображение j - называют изоморфизмом и изоморфные поля с точки зрения алгебры одинаковы.

Пример: пусть К – множество всех действительных чисел (К-> R), K’ –множество всех точек на прямой. Сложение для точек на прямой введем сложение как сложение векторов, а умножение, как умножение модулей.

В качестве взаимного отображения j можно выбрать следующее правило – каждому действительному числу ставим в соответствие точку удаленную от фиксированного начала координат на к единиц.

Пример: Множество точек на плоскости и комплексные числа.

Замечание: 1) если К изоморфно К’ - К@K' => K'@K 2) K@K’, K’@K’’ => K@K’’ 3) Если К и К’ изоморфны, то кол-во элементов в них совпадает.

ч1.Вопрос21. Кольцо многочленов от одной переменной. Степень произведения. Отсутствие делителей нуля. Многочлены, имеющие обратные.

Опр: Пусть Р – произвольное поле, х – неизвестные (переменные), формальное выражение вида a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n-1x+a_n, где n прин N, a_i прин P, i=0, n. Называют многочленом с коэффициентам из поля Р, слагаемое вида a_ix^n-I – членами многочлена, а_i – коэф-том при члене многочлена. Если a₀ отлично от 0 то a₀xⁿ – называют старшим членом многочлена, n – степенью данного многочлена P[x].

Порядок записи по убыванию степеней называют лексико-графическим.

Опр: многочлены f(x) и g(x) называют равными если их коэффициенты при соответствующих степенях неизвестных, в противном случае неравными.

Опр: Нулевым многочленом назовем многочлен вида f(x)=0 – степень не определена. deg(f(x))=0, f(x)=3x⁰

Множество К в котором определены две замкнутые алгебраические операции сложение и умножение называется кольцом.

Опр: Сложение двух многочленов. Пусть f(x) и g(x) с коэф-ми из P[x], пусть для определенности deg(g(x)> =deg(f(x)) (m> =n) => суммой m и n будет многочлен коэф-ты которого = сумме коэф-тов с одними степенями.

Пример: f(x)=3x²-4x-кор(3) g(x)=-7x+3- кор(3) => f(x)+g(x)=3x²-4x-2кор(3)+3

Опр: Введем понятие противоп-го эл-та. Противоположным многочлену f(x) будет многочлен (-f(x)), f(x)+(-f(x))=0; 2) f(x)¹ 0, f(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n, $ (-f(x))= (-a₀)xⁿ+(-a₁)x^n-1+..+(-a_n), - входит в P[x], тк поле и для каждого эл-та будет противоположный.

Данное множество с введенной операцией сложения есть группа по сложению, причем группа коммутативна.

Операция умножения. Произведением двух многочленов f(x) и g(x), где хотя бы 1 равен 0, будет результат 0. Если оба многочлена отличны от 0

f(x)= a₀+a₁x+a₂x²+..+a_nxⁿ

g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+..+a_sx^s

a_n¹ 0¹ b_s Назовем произведение f(x) и g(x), степени n+s =d₀+d₁x+d₂x²+..+d_nx^n+s, где d_i= ; d_n+s – отлично от 0, тк a_n¹ 0¹ b_s и в поле нет делителей нуля.

Многочлены, имеющие обратные. Для " многочлена в 0 степени $ обратный многочлен. Док-во: пусть f(x)=a₀, где a₀Î P\0. Рассмотрим g(x)=1\a₀ 1Î P, a₀Î P => 1\a₀Î P[x] тк a₀¹ 0 является многочленом тк удовлет-ет определению мног-на. f(x)g(x)=a₀*(1\a₀)=1 => значит f(x), g(x) обратные многочлены. ■.

ч1.Вопрос22. Алгоритм деления с остатком (доказать единственность). Делители многочлена. Доказать свойства делимости (не менее 5 свойств).

Теорема: Всякой паре многочленов f(x) и g(x), где g(x)¹ 0 найдется пара многочленов q(x) и r(x), такие что выполняется f(x)=g(x)*q(x)+r(x), причем r(x)=0 или deg(r(x))< deg(g(x)) и пары q(x) и r(x) определяются однозначно.

Док-во: Возможны 2 случая

1) deg(f(x))< deg(g(x)) тогда q(x)=0 выбираем r(x)=f(x); f(x)=0*g(x)+f(x)

2) deg(f(x))≥ deg(g(x)) Докажем единственность пары q(x) и r(x)

Пусть $ q’(x), r’(x), такие что f(x)=g(x)q’(x)+r’(x)

=> g(x)q’(x)=g(x)q(x)+r(x) | -r’(x)-g(x)q(x)

=> g(x)q’(x)-g(x)q(x)=r(x)-r’(x)

g(x)[q’(x)-q(x)]=r(x)-r’(x)

Степень правой части либо не определена (q’(x)-q(x)) либо ≥ deg(g(x))

тогда q(x)=q’(x); r(x)=r’(x); Для доказательства существования мн-в q(x), r(x) применим метод аналогичный делению многочленов столбиком.

Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n; g(x)=b₀x^s+b₁x^s-1+…+b_s; причем deg(f(x))≥ deg(g(x)); n≥ s

Построим многочлен f₁(x)=f(x)-(a₀\b₀)x^n-sg(x); Степень многоч-на обозначим n₁ она < чем n

Возможны 1) n₁< s, то r(x)=f₁(x)q(x)= (a₀\b₀)x^n-s 2) n₁≥ s – переходим к построению мног-на f₂; аналогично строим последовательность мног-в f₁, f₂,.., f_k – она конечна тк степени многочленов убывают, тогда на k- м шаге получим

f_k(x)=f(x)-((a₀\b₀)x^n-sg(x)+(a₁\b₁)x^n1-sg(x)+…+(a_k-1\b_k-1)x^k-1-sg(x))?

Тогда остаток от деления = 0, тогда говорят о делимости многочлена.

Опр: Если f(x) представим в виде f(x)=g(x)j(x), где j(x)=P[x], то говорят, что f(x) – делится на g(x) или g(x) делит f(x). Запись g(x)|f(x).

Прмер: f(x)=x²+4x+4; g₁=x+2; g₂=-x-2; g₃=c(x-2), c¹ 0; g₄=c¹ 0; g₅=cf(x);

Свойства делимости.

1) Многочлены в 0 степени и только они являются делителями любого многочлена.

Док-во: пусть c=P[x]\0; для него не может быть делителями многочлен =0 и много-ны степени > 0. Значит существуют мног-ны для которых все делители обязаны иметь 0 – степень.

Теорема: мног-ны в 0 степени будут являться делителями для всех мног-нов.

f(x)=P[x]\0, cÎ P[x]\0; f(x)=(c*(1\c))f(x)=c((1\c)*f(x)) – элем-ты из P[x]. Исполняется св-во ассоциативности => с – делитель f(x) ■.

2)Если f(x) делится на g(x), g(x)|f(x)!, то " сÎ P\0

с*g(x) – явл-ся делителем для f(x). cg(x)|f(x).

тк. f(x)= g(x)j(x) =(c(1\c)g(x)j(x))=cg(x)((1\c)j(x))=f(x) ■.

3) Если f(x) делит g(x), g(x) делит u(x), то f(x) делит u(x)

4) Если j(x) делит f(x), j(x) делит g(x), то => j(x) делит g(x)+f(x)

5) Если g(x) делит f(x), то g(x) делит произ-е f(x)g(x)

6) Если j(x) делит f_kj(x), k=1, s, то j | u₁(x)f₁(x)+u₂f₂(x)+..+u_sf_s(x)

7) Если f(x) | g(x); g(x) | f(x) => f(x)=cg(x), c¹ 0

8) Если g(x)| f(x) или g(x) | cf(x), то g(x) | и второй многочлен.

ч1.Вопрос23. НОД. Доказать алгоритм Евклида. Сформулировать его следствие.

Опр1: Многочлен j(x) называют общим делителем многочленов f(x) и g(x), если j(x) делит f(x) и j(x) делит g(x).

Замечание: Для любой пары f(x) и g(x) существуют общие делители, например многочлены 0 – степени.

Опр2: Многочлен D(x) называют НОД мног-в f(x) и g(x), запись d(x)=(f(x), g(x)) или НОД(f(x), g(x)) если выполняется 2 условия:

1) d(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x).

2) d(x) – делится на любой общий делитель многочленов f(x) и g(x).

Замечание: Из определения не следует существование НОД и способ его нахождения.

Чтобы получить НОД для любой пары многочленов для любой пары многочленов f(x) и g(x), применяют алгоритм Евклида.

Док-во: пусть даны 2 многочлена f(x)=P[x] и g(x)=P[x]

Если f(x)=0, то (g(x), 0)=g(x)

Если g(x)=0, то (f(x), 0)=f(x)

Если f(x)=0, g(x)=0, то НОД не определяют (любое число)

f(x)¹ 0; g(x)¹ 0; Пусть степень многочлена f(x)≥ deg(g(x)), тогда выполним деление f(x) на g(x) c остатком.

f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x) если r₁(x)=0, то в качестве НОД выбирают g(x)

если r₁(x)¹ 0, то его степень < deg(g(x))

g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x),..

r_k-2(x)=r_k-1(x)q_k(x)+r_k(x)

r_k-1(x)=r_k(x)q_k+1(x)

Цепочка обязательна конечна тк степени остатков убывают и мы получим остат-к либо = 0, либо многочлену в 0 степени.

Покажем, что r_k – НОД многочленов f(x) и g(x) проверяем

1) условие r_k(x) делитель f(x) и g(x)

Из последнего равенства видно, что r_k есть делитель для r_k-1

В правой части предыдущего равенства оба слагаемые делятся r_k(x) и т.д. g(x) – делится на r_k(x), значит f(x) тоже делится на r_k(x).

2) Покажем, что любой общий делитель j(x) многочленов f(x) и g(x) делит r_k(x) в цепочке равенств в верхней строчке r₁(x) делится на j(x) из второй строчки => r₂(x) делится на j(x) и т.д. в последней строчке => r_k(x) делится на j(x). Оба условия определения НОД выполнены. ■.

Следствие из алгоритма Евклида: для " пары отличных от нуля многочленов f(x), g(x) $ многочлены u(x), v(x), такие что f(x)*u(x)¹ g(x)*v(x)=НОД(f(x), g(x)). Причем u(x), v(x) пары f(x) и g(x) – определяются однозначно с точностью до множителя в нулевой степени. ■.

ч1.Вопрос24. Число НОД двух многочленов. Взаимно простые многочлены; их свойства.

Для любой пары многочленов существуют многочлены U(x) и V(x) такие, что: f(x)*U(x)+g(x)*V(x)=НОД(f(x), g(x)).

Пусть d₁(x), d₂(x)- 2-а НОД-а f(x) и g(x) => d₁(x) делит d(x), а d₂(x) делит d₁(x). d₁(x)=c*d₂(x), c-элемент поля P/0. тогда число НОД равно числу элементов поля.

опр: многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми если их НОД есть многочлен нулевой степени = 1.

Его можно подобрать любому выбранному многочлену.

Для взаимно простых многочленов f(x) и g(x) следствие из Алгоритма Евклида принимает вид: для любой пары f(x) и g(x) НОД=1. существование U(x) и V(x) определено однозначно, что выполняется равенство: f(x)*U(x)+g(x)*V(x)=1.

Свойства:

1) Если f(x) взаимно прост с φ (x) и ψ (x) то он взаимно прост.

2) Если f(x) * g(x) делится на φ (х)

3) Если φ (х) делит f(x), ψ (х) делит f(x) => φ (х) и ψ (х) взаимно просты и их произведение делит f(x)

ч1.Вопрос25. Корни многочленов. Деление на (x-c). Теорема Безу. Метод Горнера. Теорема Виета.

Задан многочлен f(х) с коэффициентами из P[х]. Если f(x)=0, то его значение назовем число ноль. Если f(x)≠ 0 => f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n. Выберем число с из P[х], то пологаем значение многочлена f(x) при x=c величину f(x)= a₀cⁿ+a₁c^n-1+..+a_n.

Замечание: каждой паре f(х)*с ставится в соответствие ровно одно значение f(c). обратное не верно.

Если значение мног-а f(х) при (х=с)=0 то с- называют корнем мног-а.

Теорема Безу: остаток от деления мног-а f(x) мног-н g(x)=(x-c) равен значению мног-а f(x) при х=с.

f(x)=(x-c)q(x)+r(x) => x=c. f(c)=(c-c)q(c)+r(c) => f(c)=f(c).

Т.к. g(x) мног-н первой степени => либо остаток с=0 => x=c-корень для f(x), либо остаток мног-н любой степени.

Следствие: число с- корень f(x) ó (x-c)/f(x)

Метод Горнера: пусть задан f(x) из P[x].

f(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n выполним его деление на g(x)=(x-c)=> f(x)=g(x)q(x)+r(x) – мног-н g(x) имеет степень n=1.

f(x)=g(x)q(x)+r(x)=> q(x)=b₀x^n-1+bx^n-2+..+b_n-1 => f(x)=(x-c)(b₀x^n-1+bx^n-2..+b_n-1)+r. При х=n.

xⁿ | a₀=b₀

x^n-1 | a₁=b₁-cb₀

x^n-2 | a₂=b₂-cb₁

.. |

x¹ | a_n-1=b_n-1-cb_n-2

x⁰ | a_n=cb_n-1+r

Теорема Виета. пусть f(x) из P[x]\0, a₀=1, f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n(1) – у него существует поле разложения P` над которым f(x)=(x-c<sub>1</sub>)(x-c<sub>2</sub>).. (x-c<sub>n</sub>)(2). c<sub>i</sub> из P`. правые части равенств (1, 2) равны, т.к. равны левые части. приравнивая в 1, 2 коэв. при одинаковых степенях х получаем равенство.

a₁=-(c₁+..+c_n).

a₂=c₁c₂+c₁c₃+..+c_n-1c_n.

…………………………..

a_n=(-1)ⁿc₁..c_n

отсюда получаем формулу Виетта.

-a₁=c₁+..+c_n.

a₂=c₁c₂+c₁c₃+..+c_n-1c_n.

…………………………..

(-1)ⁿ a_n=c₁..c_n

с₁..с_n- корни f(x). если а₀≠ 1, то формула Виетта аналогично полученную пишем для многочлена f(x)/а₀ имеющего те же корни что и f(x).

ч1.Вопрос26. Кратные корни. Производная многочлена; ее степень. Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании. Следствия.

Пусть C – корень f(x). Если f(x)=(x-c)^kg(x), причем g(c)≠ 0, то число k называют кратностью корня c многочлена f(x).

Если k> 1, то c – кратный корень, если k=1, то с – простой корень.

Кратность корня можно находить методом Горнера (несколько раз делить на (x-c)), но есть другой способ, связанный с понятием производной.

Опр. Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n, a_i из Р. Назовем производной многочлена f’(x)=na₀x^n-1+…+a^n-1

na₀=a₀+…+ a₀ (n раз) f’(x) из P[x]

Нетрудно проверить, что справедливы обычные правила дифференцирования. Отметим, что если Р любой кратн. ≠ 0 поле характеристики 0, то na₀≠ 0, т.к. a₀≠ 0=> deg f’(x)=n-1.

Для других полей степень производной может быть меньшей (n-1).