Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании.






Пусть С – корень кратности k многочлена f(x) из P[x], Р- поле характеристики 0, тогда при k> 1 с – корень кратности (л-1) производной f’(x), при k=1 с – не является корнем f’(x).

Д-во: f(x)=(x-c)kφ (x) (1), φ (c)≠ 0 (2)

f’(x)=k(x-c)k-1φ (x)+(x-c)kφ ’(x)=(x-c)k-1(kφ (x)+(x-c) φ ’(x)) (3)

обозначим ψ (x)= (kφ (x)+(x-c) φ ’(x))

Найдем ψ (с)=k/φ (c)≠ 0, φ (c)≠ 0 (4)

ψ (с)≠ 0, т.к. в поле характеристики 0 для любого a из Р\0 и любого k из N: ka≠ 0

Из (3) и (4) следует справедливость доказываемой теоремы.

Следствие1: Если c – корень кратности k многочлена f(x) из P[x] и Р – поле характеристики 0, то f(c)=f’(c)=…=f(k-1)(с)=0 (5), то f(k)≠ 0 (6)

Следствие2: Если Р – поле характеристики 0, f(x) из P[x] и выполняется (5) и (6), то с – корень кратности k многочлена f(x). Получается из следствия 1 методом от противного (один раз предполагается, что кратность корня c меньше k, а другой раз – больше k).

ч1.Вопрос27. Число корней многочлена в произвольном поле. Равносильность двух понятий равенства. Формулировка теоремы существования корня. Следствия. Поле разложения.

Существуют мног-ы у которых нет корней(0-й степени). Докажем теорему о том, что никакой мног-н отличный от 0 с коэф. из поля не может иметь в P[x] или в любом его расширении бесконечно много корней.

Док-во: Предположим противное, существует f(x) из P[x], deg f(x)=n такой, что имеет бесконечно много корней.

Существуют: x1, x2, x3 из P[p’], что f(xi)=0. Выберем φ 1(х)=х-α 1, φ 2(х)=х-α 2, φ n(х)=х-α n, φ n-1(х)=х-α n-1. Получили что степень делителя > чем f(x) => противоречие.

 

Теорема 2: Любой не нулевой мног-н f(x) n-й степени может иметь поле P или в любом его расширении не более n – корней считая каждый корень сколько раз, какова его кратность.

Опр: пусть задан f(x), С- назывют корнем кратности К если f(x) делится (x-i)k и не делится (x-c)k+1.

Пример: число 0 является корнем кратности 3. f(x)=x3, x=0 кратность 3. f(x)=(x-1)2(x+1)3(x+4).

Корни кратности 1 называют простыми корнями. Для определения кратности корня можно использовать схему Горнера.

Док-во: В силу теоремы что число различных корней мног-а конечно.

сущ. f(x) из P[x] deg f(x)=n β n- кратные корни. f(x) делится (x-α 1)β 1, (x-α 2)β 2, (x-α k)β k.

Т.к. α 1..α k –различные корни, то мног-. ((x-α i)β i(x-α j)β j)=1 => делится на их произведение => степень делителя = β 1..β k< n –конечно.

 

Рассмотрим 2-а опр. для бесконечных полей.

Пусть поле бесконечно и выполняется опр2 f(x) и g(x) равны как функции. Т.к. P-бесконечно, то можно выбрать с1, с2,.., сm, где m- первых максимальные из степеней f(x) и g(x). m> max(deg(g(x)), deg(f(x))). Рассмотрим многочлен φ (x)=f(x)-g(x)

Степень мног-а φ (x) не превосходит максимальную степень из степеней f(x) и g(x).

deg(φ (x))< =max(deg(g(x)), deg(f(x))). Числа сi являются для φ (x) корнями и их больше чем степень φ (x). => f(x)=g(x) по опр1.

 

Теорема: Всякий мног-н не нулевой степени с коэф. из поля имеет хотя бы один корень.

 

 

ч1.Вопрос28. Сформулировать основную теорему алгебры комплексных чисел. Разложение на линейные множители над полем C. Число корней многочлена с комплексными коэффициентами. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем C.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Любой многочлен f(x) из C[x]\C имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие. Всякий многочлен n-ой степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (другими словами, поле С является полем разложении я для любого многочлена n-ой степени, n> 0, с комплексными коэффициентами).

Д-во. Пусть f(x) из C[x]\C

По теореме существует с1 из С, что f(c1)=0, т.е. f(x)=(x-c1)f1(x) (1) => f1(x) из С[x]

Если f1 (x) не равен числу из С, то по теореме f1(x) в поле С имеет корень с2, т.е. f(x)=(x-c1)(x-c2)f2(x).

Через конечное число шагов получим f(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-cn)a0 (2), с1, …, сn – n комплексных корней многочлена f(x).

Т.к. мы знаем, что многочлен n-ой степени имеет не более n корней в любом поле, то с1, …, сn – все корни f(x).

 

Замечание: Если в (2) собрать вместе одинаковые скобки, то получим

f(x)=(x-c1)k1(x-c2)k2…(x-cs)ksa0 (3), где с1, …, сs – все различные корни f(x), а ki – кратность корня сi многочлена f(x), то k1+…+ks=n

Разложение (3) для многочлена f(x) с комплексными переменными единственно с точностью до порядка сомножителей. Разложение (3) называют каноническим разложением многочлена с комплексными элементами.

 

p=1*p

В теории целых чисел простыми числами обычно считают ±p, где p- натуральное простое число и тогда можно доказать, что любое целое число Z представимо в виде (±1)p1..ps.

 

Опр: многочлен p(x), принадлежит P[x] называют неприводимым над полем P, если deg p(x)> =1 и p(x) нельзя разложить на 2-а множителя из P[x] меньшей степени. В противном случае p(x) (не нулевой степени) называется приводимым над P(т.е. P(x) приводимый над P, если существует φ (x) и ψ (x) из P[x] таких, что p(x)= φ (x)ψ (x), причем deg φ (x)< deg p(x), deg ψ (x)< deg p(x).

 

Многочлен нулевой степени не считается ни приводимыми, ни неприводимыми над Р.

При расширении поля Р, неприводимые над Р многочлены могут стать приводимыми над Р’.

 

Лемма: многочлены 1 степени не приводимы над любым полем.

Док-во: предположим что ax+b=φ 1(x) φ 2(x), deg φ 1, 2(x)< 1. => deg φ 1, 2(x)=0, т.е. φ 1=b1, φ 2=b2.

ax+b=b1*b2 => противоречие.

 

Теорема: неприводимые мног-ы над полем С являются многочлены 1 степени и только они.

Док-во: необходимость: если deg p(x)=1, то по лемме он неприводим над любым полем => и над С, а p(x) из C[x].

достаточность: пусть f(x) из C[x] и неприводим над С. существует α из С такой что является корнем f(x), тогда f(x)=(x-α)*g(x) в силу не приводимости f(x) => deg g(x)=0, т.е. g(x)=a и f(x)=a*(x-α) => deg f(x)=1.

 

ч1.Вопрос29. Доказать сопряженность корней многочлена с действительными коэффициентами. Следствия. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем R.

Теорема: пусть f(x) из R[x]\R если α - не действительный корень f(x), то α ` - тоже корень f(x), причем α и α ` имеют в f(x) одинаковую кратность.

Док-во: f(x)=a0xn+..+an(1), ai из R. По условию f(α)=0(3). a0α n+..+an=0(4). взяв от обеих частей равенства (4) сопряженные числа и учитывая правила действий с сопряженными числами получим: a`α `n+..+a`n=0` =0(5). т.к. ai из R => a`i=ai. из (5) следует f(α `)=0(6) => α ` - корень f(x).Докажем теперь что кратность корня α ` мног-а f(x) такая же как корня α этого же мног-а. т.к. α не принадлежит R => α `≠ α (7).

(x-α)\f(x), (x-α `)\f(x). В силу (7) НОД((x-α), (x-α `))=1 => эти мног-ы взаимно простые. по свойствам взаимно простых мног-в f(x) делится на (x-α)(x-α `) = φ (x). φ (x)=x2-(α + α `)x+ α α ` из R[x]. пусть к- кратность корня α мног-а f(x), l- кратность корня α ` мног-а f(x). даказать k=l(8).

От противного. предположим k> l(9). если k< l аналогично.

тогда f(x)=(x- α)k(x- α `)l(10). одинаковые скобочки соберем вместе. из (10) следует f(x)=[(x- α)(x- α `)]2[(x-α)k-lg(x)]=(обозн. t(x)= (x-α)k-lg(x))=(φ (x))lt(x)(11). t(α)=0(12), а t(α `)≠ 0. т.к. g(α `)≠ 0 => α ≠ α `. Из (11) и доказанного выше φ (х) из R => t(x) из R, но у t(x) есть корень α (12), но нет корня α `(13), что противоречит доказанному в первой части теоремы. => k=l.

 

Пусть f(x) из R[x]\R

т.к. f(x) из C[x], то все корни f(x) – комплексные и справедливо разложение f(x)=a0(x-c1)…(x-cn) (1). Пусть среди с1…сm все различные действительные корни, а сm+1…cs все различные недействительные корни, собирая вместе одинаковые действительные (х-сi), а для действительных корней (х-сj)(x-cj`), получим из (1) разложение вида f(x)= (x-c1)k1…(x-cs)ks φ 1l1(x) и φ s-mls-m(x) (2), где φ t(x)= (х-сj)(x-cj`), j≥ n+1.

 

в (2) справа стоят мног-ы с действит. коэф., т.к. с1…сm из R. φ t(x) из R[x] по теореме.

Опр.: разложение (2) мног-а с действит. коэф. называют его каноническим разложением над полем R.

Следствие1: число не действит. корней мног-а f(x) из R[x]\R всегда четное, т.к. все не действит. корни это корни мног-в φ t(x), а deg φ t(x)=2. 2l1+..+2ls-m.

Следствие2: мног-н нечетной степени с дейтсвит. коэф. имеет хотя бы один действит. корень.

 

Теорема: неприводимыми над полем R мног-ми являются все мног-ы первой степени с действит. коэф. и все мног-ы 2 степени с действит. коэф. имеющие пару сопряженных не действит. корней и только они.

 

Док-во: достаточность: многочлены 1 степени не приводимы над R по Лемме. пусть f(x)=ax2+bx+c, где a, b, c – действит. и его корни α и α `. (α ≠ α `). f(x)=a(x- α)(x- α `); α, α ` не принадлежат R. предположим что f(x) приводим над R, тогда f(x)=f1(x)f2(x). deg f(x)=2, deg f1, 2(x)=1, причем f1(x) из R[x], но тогда f1, 2 имеют действит. корни, а тогда и у f(x) действит. корни => противоречие.

необходимость: пусть p(x) из R[x], p(x) не приводим над R, p(x) из C[x], тогда существует α из C, что p(α)=0 => p(x)=(x- α)g(x) (2). Возможны 2 случая: 1) α - действит. число => (x- α) из R[x]. Из (2) следует g(x) из R[x]. т.к. p(x) не приводим над R то получаем, что g(x)=a0 и p(x)=(x- α)a0. => deg p(x)=1. 2) α – из C[x]\R, тогда p(x) имеет корень α ` на ряду с α => p(x)=(x- α)(x- α `)t(x)=φ (x)t(x) (3); p(x), t(x), φ (x) из R[x]. т.к. p(x) не приводим над R => deg t(x)=0, т.е. t(x)=a0. ИЗ (3) => p(x)=a0 (x- α)(x- α `) –мног-н 2-й степени с не действит. корнями.

 


ч1.Вопрос30. Отделение корней C. Критерий отсутствия кратных корней.

Пусть f(x) из C[x]\C тогда он имеет каноническое разложение f(x)=(x-c1)k1*…*(x-cs)ks (5), где с1..cs – все различные корни f(x), т.к. С – поле характеристики 0, то для любого i=1, S. ci – корень кратности ki-1 – производной f’(x), поэтому f’(x)=b0(x-c1)k1-1.. (x-cs)ks-1*φ (x). (6)

φ (ci)≠ 0, для любого i. из (5, 6) => НОД(f(x), f’(x))= (x-c1)k1-1.. (x-cs)ks-1.(7).

Следствие1 (из 7). НОД(f(x), f’(x))=1 ó мног-н f(x) не имеет кратных корней, т.е. ki=1, для любого i.

Следствие2. мног-н f(x)/((f(x), f’(x)))=a0(x-c1).. (x-cs). – имеет только простые корни, причем это все различные корни f(x).

Опр: деление f(x) на НОД (f(x), f’(x)) называют отделением корней f(x).

 

 

ч1.Вопрос31. Определение линейного пространства. Некоторые следствия из аксиом. Основные примеры линейных пространств.

Пусть дано мн-во V; его элементы будут обозначаться: a, b, c, …. Пусть, далее, в множестве V определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов a, b из V однозначно определённый элемент a+b из V, называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причём произведение α a элемента a на число α однозначно определено и принадлежит к V. Элементы мн-ва V будут назыв. векторами, а само V – действительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими св-вами:

I. Сложение коммутативно, a+b=b+a.

II. Сложение ассоциативно, (a+b)+c=a+(b+c).

III. В V сущ. нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: a+0=a для всех a из V.

IV. Для всякого элемента a из V сущ. противоположный элемент – a, удовлетв. условию: a+(-a)=0.

V. α (a+b)= α a+α b;

VI. (α +β)a=α a+β a;

VII. (α β)a=α (β a);

VIII. 1·a=a.

Вектор b из n-мерного векторного пространства назыв. пропорциональным вектору a, если существует такое число k, что b=ka (нулевой вектор пропорц. любому вектору в виду равенства 0=0·a). Вектор b назыв. линейной комбинацией векторов a1, a2, …, as, если существуют такие числа l 1, l 2, …, l s, что b= l 1a1+ l 2a2+…+ l sas.

Система векторов a1, a2, …, ar-1, ar (r> =2) называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов, и линейно независимой – в противоположном случае.

Укажем другую форму этого определения: система векторов линейно зависима, если существуют такие числа k1, k2, …kr, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство k1a1+k2a2+…+krar=0.

Пример. Система векторов a1=(5, 2, 1), a2=(-1, 3, 3), a3=(9, 7, 5), a4=(3, 8, 7) линейно зависима, т.к. векторы связаны соотношением 4a1-a2-3a3+2a4=0.

 


ч1.Вопрос32. Два определения линейной зависимости. Их равносильность. Примеры. Связи между линейной зависимостью системы и её подсистем.

Пусть L- ЛП над полем P.

Опр1: конечная система векторов а1..as (1) – называется линейно зависимой если существует не нулевой набор чисел α 1.. α s из P. (2), что α 1a1+..+ α sas=0 (3). т.е некоторая не тривиальная(все разом α i≠ 0) ЛК =0.

Опр: система (1) называется ЛНЗ если из равенства (3) что α 1=0.. α s=0, т.е. только тривиальная ЛК системы (1)=0.

Опр2: система (1) при s≥ 2 называется ЛЗ если хотя бы один ее вектор является ЛК остальных (иначе линейно выражается через остальные), система (1) ЛНЗ если ни один ее вектор не является ЛК остальных.

Док-во равносильности: по 1 опр. α 1a1+..+ α sas=0, предположим α 1≠ 0 => a12a2+..+λ sas, где λ i=- α i/ α 1. => по опр2. (1) – ЛЗ. По опр2. a1= α 2a2+..+α sas. –a1+ α 2a2+..+α sas=0 => по опр1. система (1) – ЛЗ.

 

При s=1 имеем систему a1 и применимо только опр1.: если a1≠ 0 => α a1≠ 0, для любого α ≠ 0 => a1 ЛНЗ система. Если a1=0 => 1*0=0, 1≠ 0. то 0 составляет ЛЗ систему.

Теорема: если некоторая подсистема системы (1) ЛЗ, то и вся система (1) ЛЗ.

Док-во: пусть (1). a1..ak –ЛЗ подсистема, k< s. по опр2. a1= α 2a2+..+α kak=> a1= α 2a2+..+α kak + 0*ak+1+..+0*as => по опр1. система ЛЗ.

Следствие1: система содержащая нулевой вектор ЛЗ.

Док-во: пусть a1=0. α 1≠ 0, α 2.. α n=0. α 1*0+0* a2+..+0*an=0. по опр1 ЛЗ.

Следствие2: система содержащая 2 равных или пропорциональных вектора ЛЗ.

Док-во:

Следствие3: все подсистемы ЛНЗ системы – ЛНЗ-ы.

Док-во: от противного. предположим что подсистема данной системы ЛЗ => по Теореме данная система должна быть ЛЗ => противоречие условию. => подсистема ЛНЗ.

Замечание: у ЛЗ системы подсистемы могут быть как ЛЗ так и ЛНЗ.

a1, a2, a3 –ЛЗ.

a2, a3 –ЛЗ.

a1, a2–ЛНЗ.

 

 


ч1.Вопрос33. Теорема о максимальных линейно независимых подсистемах (о базисах). Примеры.

 

Опр: пусть а1, а2, …, as, …(1) – некоторая конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L над полем Р. Ее подсистема ai1, ai2, …, air(2) конечная независимая max л/нз подсистема, если:

1) (2) – л/нз

2) Если к (2) приписать любой вектор системы (1), то полученная система ai1, ai2, …, air, aij будет уже л/з

Обычно max л/нз подсистемы называют базисами или базисами системы (1) (таких базисов может и не быть)

Примеры:

 

1)

2)бесконечная система с единым базисом:

а1, 0, 0, …, 0, … а1 < > 0

Теорема (о max л/нз подсистемах):

Подсистема (2), конечной или бесконечной системы (1) тогда и только тогда является базисом системы (1), когда выполняются условия:

1) (2) л/нз

2) Любой вектор из (1) – линейно выражается через (2)

 


ч1.Вопрос34. Основная теорема о линейной зависимости.

Опр1:

Пусть заданы 2 – е конечных системы векторов

1: а1, а2, …, аm

2: в1, в2, …, вn

Такие что каждый вектор системы (1) линейно выражаются через вектора системы (2), то говорят что система (1) линейно выражается через систему (2)

Опр2:

Если 2 – е системы линейно выражаются друг через друга, то их называют эквивалентными.

b1 b2 – не являются эквивалентными

 

b1, b2 и а1 не являются эквив.

b1, b2 и a1, a2 – эквивалентны (парой некомпланарных

векторов образующих базис)

b1, b2, а1 и а1, а2, а3 - эквивалентны

Теорема:

Пусть л/п принадлежит Х над Р, заданы 2 – е конечные системы векторов

а1, а2, …, аm (1)

в1, в2, …, вs (2)

причем (1) – л/нз и линейно выражается тогда, число векторов системы (1) не превосходит числа векторов во (2) системе

m< =s

 

ч1.Вопрос35. Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечных систем векторов.

 

Следствие 1) 2 – е конечные л/нз системы эквивалентные между собой состоят из одинакового числа векторов

Доказательство:

а1, а2, …, аm л/нз (1)

в1, в2, …, вs л/нз (2)

m = s

т. к. система (1) л/нз и выражается через систему (2) то по основной теореме получается (m< =s)

т.к. (2) л/нз и выражается через (1) то (s< =m) => m=s ■


Следствие 2) два базиса системы векторов состоят из равного числа векторов

Доказательство:

Пусть задана бесконечная система векторов а1, а2, …, as и в ней существует 2 базиса e1, e2, …, en – л/нз

e1’, e2’, …, em’ – л/нз

и каждый из векторов базиса е представляется в виде линейной комбинации e’ (e’ представляется в виде линейной комбинации – e’ и е эквивалентные л/нз системы) => m = n

 

Следствие 3)если (1) система линейно выражается через другую то ранг системы (1) не превышает ранга другой системы r(1)< =r(2) ■

Доказательство:

Пусть ra = r1 (ra – ранг 1 системы) тогда найдется подсистема ai1, ai2, …, air – которая является базисным для системы (1)

Пусть rb = r2 тогда найдется подсистема состоящая из векторов bi1, bi2, …, bir – базис для (2) системы => системы 1 и 2 л/нз, базис системы (1) линейно выражается через систему (2). Вектора системы (2) выражаются через ее базис следовательно базис системы (1) линей но выражается через базис системы (2). По основной теореме r1< =r2 ■

 

Следствие 4) две эквивалентных конечномерных системы векторов имеют одинаковый ранг

Доказательство:

По след3 ra не превышает rb (ra< =rb) аналогично rb< =ra => ra=rb

 

Следствие 5) для конечно мерных пространств любые n векторы m мерного пространства dim j = n при m > n образуют л/з систему m > n

 

Следствие 6) всякую конечную л/нз систему векторов с1, с2, …, сk можно дополнить до базиса с1, с2, …, сk – л/нз с Х dim X = n

 

ч1.Вопрос36. Конечномерные линейные пространства (определение, примеры). Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств.

Опр1: линейное пространство L в котором существует хотя бы один базис называют конечномерным.

 

Следствие 1: для любых 2 – х базисов конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового количества векторов.

 

опр: число векторов n в некотором базисе конечномерного линейного пространства называют размерностью этого пространства и обозначают так: dimL = n.

Следствие 2: любая система из n+1 вектора n мерного линейного пространства L – л/з

Следствие 3: любую л/з систему векторов а1, …, ае n мерного пространства L можно дополнить до базиса этого пространства.

 


ч1.Вопрос37. Изоморфизм линейных пространств; его свойства; примеры. Теорема об изоморфизме.

 

Два действительных линейных пространства V и V’ называются изоморфными, если между их векторами установлено взаимно однозначное соответствие — всякому вектору а из V сопоставлен вектор а' из V’, образ вектора а, причем различные векторы из V обладают различными образами и всякий вектор из V служит образом некоторого вектора из V, — и если при этом соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов,

(а + b)' = а' + b', (2)

а образом произведения вектора на число служит про из ведение образа этого вектора на то же число,

( α a)'= α а'. (3)

Отметим, что взаимно однозначное соответствие между пространствами V и V, удовлетворяющее условиям (2) и (3), называется изоморфным соответствием.

Так, пространство векторов-отрезков на плоскости, выходящих из начала координат, изоморфно двумерному векторному пространству, составленному из упорядоченных пар действительных чисел: мы получим изоморфное соответствие между этими пространствами, если на плоскости фиксируем некоторую систему координат и всякому вектору-отрезку сопоставим упорядоченную пару его координат.

 

Докажем следующее свойство изоморфизма линейных пространств: образом нуля пространства V при изоморфном соответствии между пространствами V и V’ служит нуль пространства V'.

Пусть, в самом деле, а будет некоторый вектор из V, а' —его образ в V’. Тогда, ввиду (2),

a' = (a + 0)' = a'+0', т. е. 0' будет нулем пространства V’. ■

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.