Классическое и квантовое описание оптического поля 2 страница

(3.21)

который полностью совпадает с видом (2.10) функции Гамильтона осциллятора в канонических переменных и . Используя коммутатор для координаты и импульса

(3.22)

а также выражения (3.20) легко получить коммутатор для операторов рождения и уничтожения:

(3.23)

Гамильтониан (3.21) с учётом коммутатора (3.23) преобразуется к виду

(3.24)

Существенное отличие от классического осциллятора заключается в наличии слагаемого 1/2 в гамильтониане квантового гармонического осциллятора.

Далее, используя уравнение движения для операторов в гейзенберговском представлении (3.5) и коммутатор (3.23), получим уравнения движения операторов рождения и уничтожения в виде

(3.25)

Общие решения уравнений (3.25) имеют вид экспоненциальных функций:

(3.26)

Полученные выражения (3.25) и (3.26) совпадают по форме с соответствующими уравнениями и их решениями в классическом случае (2.13) и(2.14). В шредингеровском представлении необходимо пользоваться операторами, и , независящими от времени. Всюду далее мы будем пользоваться гейзенберговским представлением, оговаривая случаи, когда будем переходить к шредингеровскому. При этом будем опускать скобки с временными аргументами (t) и (0).

Матричные элементы оператора координаты и импульса определенные на базисе собственных векторов оператора энергии, имеют следующие значения, отличные от нуля[18]:

(3.27)

а для операторов рождения и уничтожения из формул (3.20) и (3.27) получим

(3.28)

Из последних выражений для матричных элементов следует, что действие операторов и на стоящие справа от них собственные вектора энергии (кет-вектор - по дираковской терминологии) и на стоящие слева от них собственные вектора (бра-вектор), определяется правилами:

(3.29)

Видно, что действие операторов рождения и уничтожения и на кет-вектор приводит соответственно к увеличению и уменьшению энергетического состояния на квант . Оператор

(3.30)

называется оператором чисел заполнения. Из правил (3.29) видно, что собственный вектор оператора энергии является в тоже время и собственным вектором оператора чисел заполнения , поскольку . Собственное значение оператора есть квантовое число n, т.е. натуральный ряд чисел n =0, 1, 2, …

В матричной форме кет- вектор представляет собой бесконечную матрицу, состоящую из одного столбца с нулевыми элементами, кроме n+ 1 -ой строки, где стоит единица; бра-вектор представляет собой бесконечную матрицу, состоящую из одной строки с нулевыми элементами, кроме n+ 1 -ого столбца, где стоит единица. Ортонормированность и полнота этих n- квантовых состояний легко проверяется путем перемножения соответствующих матриц по правилу " строка на столбец":

(3.31)

Например, скалярное произведение , т.е. символу Кронекера. Далее, произведение , называемое внешним произведением, или проекционным оператором, сводится к бесконечной матрице с нулевыми элементами, кроме одного диагонального, равного единице и стоящего в n -ой строке (столбце). Очевидно, что сумма по всем n слагаемым даст единичную матрицу, т.е. удовлетворяет условию полноты.

Наинизшее, основное состояние гармонического осциллятора характеризуется нулевым квантовым числом (n = 0) и вектором состояния .

Согласно первой формуле в (3.29) последовательное действие оператора рождения на вектор основного состояния n -раз приводит к образованию возбужденного состояния , которое можно представить в компактной форме:

(3.32)

Как известно, средние значения координаты и импульса в любом стационарном состоянии равны нулю. Это непосредственно следует формул (3.20) и (3.29). Поэтому состояния не могут, в принципе, соответствовать решениям для движения классического осциллятора по определенной траектории. На рис.2 приведен пример распределения плотности вероятности для координат линейного гармонического осциллятора. Это распределение демонстрирует резко осциллирующую зависимость в пространстве, мало похожую на соответствующие плотности для классического случая. Из выражений (3.18) хорошо видно, что аналогичное распределение плотности вероятности имеет место для импульсов .

В заключении этого параграфа дадим вывод соотношения неопределенности для координаты и импульса в случае линейного гармонического осциллятора. Введем величины и , характеризующие корни из среднеквадратичных отклонений импульса p и координаты q от своих средних значений и в виде:

(3.33)

Положим , и вычислим средние от квадратов операторов и по формуле умножения матриц (3.31). Учитывая, что ненулевыми матричными элементами операторов и в энергетическом базисе являются лишь недиагональные, приведенные в (3.27), получим из (3.33) для среднеквадратичных отклонений и соотношения неопределенностей хорошо известные выражения:

(3.34)

Здесь в (3.34) окончательные формулы представлены в системе (esu).

Отсюда видно, что наименьшее значение соотношение неопределенностей имеет при n =0, т.е. в основном состоянии.

Для дальнейшего изложения приведём явный вид проекций вектора основного состояния в координатном и импульсном представлениях, и другим путем получим соотношение неопределенностей в наинизшем по энергии состоянии осциллятора. Если в (3.18) положить n =0, то нетрудно убедиться, что в обоих представлениях эти проекции описываются функциями распределения Гаусса:

(3.35)

Отсюда видно, что соответствующие плотности вероятностей для координат и импульсов имеют следующее гауссово распределение

(3.36)

Сравнивая эти выражения (3.36) с канонической формой распределения Гаусса

(3.37)

найдём, что , а . Следовательно, для основного состояния произведение , т.е. имеет минимально возможное значение как и должно быть при согласно (3.34). Подчеркнем ещё раз, что, таким образом, волновые функции основного состояния линейного гармонического осциллятора (3.35) обладают минимальным соотношением неопределенностей, по сравнению с возбужденными и особенно с высоковозбужденными состояниями.

Возникает естественный вопрос, существуют ли такие состояния осциллятора, кроме основного, которые бы также минимизировали соотношение неопределенностей. В следующем параграфе мы подробно опишем когерентное состояние осциллятора, которое обладает именно каким свойством.

§ 4. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В КОГЕРЕНТНОМ СОСТОЯНИИ

Определим когерентное состояние как собственный вектор оператора уничтожения , обладающего собственной функцией и собственным значением в соответствии с их стандартным определением в квантовой теории:

(4.1)

где есть комплексное число. Когерентное состояние разложим в ряд типа (3.10) по полной ортонормированной системе собственных векторов оператора чисел заполнения (3.30):

(4.2)

Чтобы найти коэффициенты разложения, т.е. проекции , умножим скалярно (4.1) на бра-вектор и, воспользовавшись правилами (3.29), получим цепочку равенств:

(4.3)

Произведем нормировку когерентного состояния на единицу, т.е. будем полагать, что скалярное произведение

(4.4)

Подставим в (4.4) разложение(4.2). Учитывая ортонормированность собственных векторов , т.е.

(4.5)

получим, что

(4.6)

Теперь подставим в (4.6) вместо последнее равенство из (4.3). В результате получим

(4.7)

откуда следует, что

(4.8)

где есть произвольное число. Иными словами, из условия нормировки (4.4) можно получить проекцию с точностью до произвольной фазы. Полагая , окончательно получим выражение (4.2) для когерентного состояния одномерного (одномодового) гармонического осциллятора в виде

(4.9)

Отсюда видно, что когерентное состояние при является в то же время основным состоянием, при котором , т.е. оно является единственным основным состоянием осциллятора. Из (4.3) и (4.8) однозначно следует также, что вероятность обнаружить осциллятор в n- ом энергетическом состоянии

(4.10)

откуда видно, что вероятность заполнения состояния есть распределениеПуассона со средним значением .

Любое когерентное состояние можно получить из основного состояния, заменив собственный вектор оператора чисел заполнения в соответствии с формулой (3.31). После замены получаем выражение

(4.11)

которое в общем виде означает, что

(4.12)

где есть некоторый оператор сдвига, частный вид которого определяется сравнением (4.12) с (4.11) Таким образом, когерентные состояния представляют собой в точности основное состояние осциллятора, на которое подействовали оператором сдвига .

Из условия нормировки (4.4) следует, что оператор есть унитарный оператор, т. е. он удовлетворяет условию: Далее, если учесть, что из очевидного условия следует также условие , которое эквивалентно действию единичного оператора, то унитарный оператор можно представить в виде

(4.13)

Воспользовавшись известной формулой

(4.14)

которая справедлива для коммутатора , коммутирующего в свою очередь с любым из и , получим вид оператора сдвига в компактном форме:

(4.15)

Этот оператор сдвига обладает следующими свойствами:

(4.16)

Теперь обратим внимание на тот важный факт, что набор когерентных состояний удовлетворяет условию полноты, нормировки, но не удовлетворяет условию ортогональности. Последнее свойство легко доказать путем прямого вычисления скалярного произведения на основе формул (4.5) и (4.9). В результате получим следующее выражение

(4.17)

откуда находим, что абсолютное значение скалярного произведения сводится к простой экспоненциальной зависимости: . Следовательно, когерентные состояния строго не ортогональны, хотя они почти ортогональны при значениях много больше единицы. Для значений , близких к , происходит сильное перекрытие волновых функций, аналогичных по форме. Заметим, однако, что ортогональность набора базисных состояний не является необходимым свойством для разложения по ним произвольных состояний. Более важным и необходимым в этом случае является свойство полноты. Это положение, в некотором смысле, эквивалентно разложению обычных векторов на проекции по осям в прямоугольных и косоугольных системах координат.

Набор когерентных состояний является полным, т.е. удовлетворяет соотношению

(4.18)

где интегрирование осуществляется по всей -плоскости, а дифференциальный элемент площади , и он есть действительная величина. Для доказательства воспользуемся кет-вектором (4.9) и соответствующим ему бра-вектором :

(4.19)

Представим комплексную . Тогда в полярных координатах дифференциал , а двойной интеграл в (4.18) с учётом (4.19) преобразуется к произведению однократных определенных интегралов по и :

=

= (4.20)

где есть гамма-функция: . Интегрирование по азимутальному углу дает в результате величину . Поскольку хорошо известно, что состояния образуют полный ортонормированный базис, то мы имеем , и, следовательно, с учётом (4.20), справедливо условие полноты и для когерентных состояний (4.18).

С помощью вышеприведенных в этом параграфе определений и свойств когерентных состояний одномодового осциллятора рассмотрим различные средние значения механических величин. Прежде всего, обратим внимание, что от упорядоченного произведения операторов рождения и уничтожения и легко рассчитывать средние значения когерентных состояний [6]. Например, из выражений (3.20) и определения (4.1) следует:

(4.21)

Далее из (3.24) и определения (4.1) получаем

(4.22)

Из последних формул (4.21) и (4.22) видно, что в когерентном состоянии

(4.23)

Как и следовало ожидать, в общем случае когерентные состояния не являются стационарными: вероятность обнаружить осциллятор в конкретном энергетическом состоянии с определенной энергией дается распределением Пуассона (4.10). Среднеквадратичное отклонение для n, вычисленное с помощью пуассоновского распределения, приводит, как известно к результату (см. напр. [1]):

(4.24)

При малых и для больших распределение Пуассона переходит в распределение Гаусса. В этом случае необходимо воспользоваться асимптотической формулой Стирлинга для факториала большого числа: . Используя (4.10) и разложив в ряд по степеням , получаем гауссово распределение вероятностей

(4.25)

Теперь найдём волновые функции (3.11) и (3.12), или, другими словами, проекции вектора когерентного состояния в координатном и импульсном представлениях. Подставим в исходное выражение (4.1) оператор уничтожения из (3.20), получим

(4.26)

Умножим в этом выражении скалярно обе части равенства на сопряженные состояния и , а затем воспользуемся определениями дифференциальных операторов координаты и импульса согласно постулатам квантовой механики (см. Прил. 1). Они имеют вид:

а) в q -представлении

(4.27)

б) в p -представлении

(4.28)

В результате из (4.26) с учетом (4.27) и (4.28) получаем дифференциальные уравнения для волновых функций (3.11) и (3.12) в виде