Классическое и квантовое описание оптического поля 1 страница

Глава I

§ 1. КОМЕНТАРИИ К ПОСТУЛАТАМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И КВАНТОВОЙ ОПТИКИ

В экспериментах по интерференции и дифракции световых лучей ярко проявляются волновые свойства электромагнитного и, в частности, оптического поля излучения, тогда как при поглощении и испускании излучения атомными частицами (изолированными или входящими в состав молекул, кластеров и конденсированных фаз вещества) свет ведет себя как совокупность элементарных частиц - фотонов. Более или менее удовлетворительное описание оптических полей даёт квантовая теория (квантовая электродинамика), которая объясняет оба эти противоречивые свойства.

В классической физике все физические объекты удаётся четко подразделить на волны и частицы (или на объекты, состоящие из совокупности таких образований). Однако для реальных физических явлений понятия волны и частицы являются приближенными, и нельзя провести строгой границы между ними. То, что представляет собой волну в классическом понимании, при определенных условиях может вести себя как частица или их совокупность (например, фононы для звука, фотоны для света и т.д.). И наоборот, то, что по классическим представлениям считается частицами, может образовывать чисто классические волны (например, электроны в куперовских парах в сверхпроводниках).

Из многочисленных экспериментов, сделанных главным образом в начале ХХ века, стало ясно, что и фотоны и атомные частицы проявляет себя одновременно в двух аспектах: волновом и корпускулярном. Причём нельзя, например, рассматривать свет ни как поток классических корпускул, ни как суперпозицию классических волн, не входя в противоречие с экспериментом. То же касалось и атомных частиц. Если придерживаться классической физики, то связное и непротиворечивое описание всей совокупности того или иного физического явления атомного масштаба невозможно. В зависимости от условий эксперимента для его истолкования приходится неизбежно прибегать к одному из двух несовместимых представлений: или потоку корпускул, или суперпозиции волн. При этом возникающий дуализм волна - частица следует интерпретировать на статистической основе, постулируя, что интенсивность соответствующей волны в некоторой точке пространства пропорциональна вероятности обнаружения в этой точке соответствующей корпускулы.

Из эксперимента также однозначно следовало квантование значений некоторых физических величин, например таких, как энергетические уровни атомов или квантование ориентации магнитных моментов электронов, ядер, атомов и молекул. Эти факты делали несостоятельной концепцию, согласно которой вещество состоит из корпускул, движение которых подчинено законам классической механики.

Современная квантовая механика позволяет преодолеть эти трудности, по крайней мере в нерелятивистском приближении для материальных частиц.

Обратимся к краткому рассмотрению основных положений современной квантовой теории в сравнении с классической (см. приложение А). Уже беглый просмотр их показывает, что они совсем не так ясны и понятны как постулаты классических теорий. Они потеряли наглядность. Для их понимания требуется освоить новый математический язык. Это не должно нас удивлять, ибо мы пытаемся проникнуть в области атомных масштабов, где большинство наших привычных представлений, выработанных на чувственном, повседневном опыте, вовсе не обязаны быть адекватными. Представьте на минуту, что мы были бы двумерными существами типа амёб и жили бы на поверхности шара. Мы не смогли бы наглядно представить шар, так как наш чувственный опыт был бы основан на круге. Шар нам казался бы " странным кругом".

В первом постулате, в отличие от классики, чётко формулируется, что может быть измерено на опыте. Дело в том, что в соответствии с современной точкой зрения во всякой физической теории следует отличать понятия и величины, экспериментально наблюдаемые от ненаблюдаемых. Первые по необходимости должны фигурировать в теории. Вторые можно модифицировать, а лучше исключить из рассмотрения вовсе. Примером экспериментально необоснованного понятия является электронная орбита, так как не удаётся одновременно и с достаточной точностью измерить импульс и координату электрона, скажем, в атоме водорода, находящегося в некотором состоянии с точно фиксированной энергией. Этот опытный факт, т.е. невозможность одновременного и сколь угодно точного измерения некоторых пар динамических переменных, в данном случае х и р, уже содержится неявно в первом постулате. В нем сказано, что наблюдаемым соответствуют определенные математические характеристики - операторы. Какие конкретно, мы узнаём из других постулатов. Алгебра операторов отличается от алгебры чисел тем, что произведение пары операторов друг на друга может зависеть от их перестановки местами. Такие пары операторов называются некоммутирующими. Логические следствия из постулатов квантовой механики с неизбежностью приводят к выводу, что для некоммутирующих операторов существуют соотношения неопределенностей Гейзенберга. Например, для координаты х и импульса р они имеют хорошо известный вид: DХDР≥ h, а для фазы световой волны φ и числа её фотонов N также существует аналогичное соотношение: Δ NΔ φ ≥ 1. Если число фотонов точно фиксировано, т.е. Δ N=0, то фаза такой волны становится полностью неопределенной, тогда как для точно определенной фазы, т.е. когда Δ φ =0, абсолютно неопределенной будет величина N и, следовательно, пропорциональная ей интенсивность света. Подчеркнем, что в соответствии с постулатами классической физики фаза и амплитуда любой монохроматической волны могут быть измерены одновременно и, в принципе, нет никаких ограничений на точность их измерения.

Во втором постулате вводиться правило вычисления вероятности измерения наблюдаемой. Для этого надо найти или знать заранее волновую функцию Ψ (x) =< х|ψ > исследуемой системы. {Здесь |ψ > есть вектор состояния системы в некотором абстрактном (гильбертовом) пространстве, а скалярное произведение < х|ψ > можно назвать проекцией вектора состояния на ось х. В этом смысле сопряженный вектор < х| есть орт оси х. Такой математический язык и обозначения были введены Полем Дираком. Они оказались очень удобными и широко употребляются в квантовой физике.} Затем найти амплитуду вероятности а_n=< n|ψ > для некоторой интересующей нас наблюдаемой n и вычислить саму вероятность, возведя амплитуду по модулю в квадрат: W_n=Iа_nI². Этот постулат содержит в себе принцип суперпозиции и редукции волнового пакета.

Способ нахождения волновой функции, описывающей состояние замкнутой атомной системы, сформулирован в третьем постулате. Для этого необходимо решить уравнение Шредингера, в которое входит постоянная Планка. Квантовая система характеризуется оператором энергии - гамильтонианом, который входит в правую сторону уравнения Шредингера.

Четвёртый постулат есть правило получения гамильтониана. Здесь хорошо видно, что классическая механика составляет необходимый элемент постулатов новой теории: знание классической функции Гамильтона определяет вид гамильтониана. В этом же месте постулируется вид операторов координаты и импульса. Четвёртый постулат имеет несколько эквивалентных формулировок. В частности операторы х и р можно задавать коммутационными соотношениями (коммутаторами).

Наконец последний, пятый постулат определяет важнейшее свойство атомных частиц - их тождественность. Идентичность фотонов, электронов, нейтронов, протонов и многих других элементарных частиц есть исключительное свойство микромира, неизвестное в классической физике. Именно постулат тождественности приводит нас к принципу Паули, который является основой построения периодической системы элементов, первоначально введённой Дмитрием Менделеевым в прошлом веке, и без которого невозможно понять устойчивость и физико-химические свойства окружающих нас веществ на основе только классических представлений.

Квантовая механика представляет собой вполне замкнутую, завершённую теорию наряду с классической механикой Ньютона, статистической термодинамикой Гиббса и электродинамикой Максвелла вместе со специальной теорией относительности Эйнштейна.

Важно также отметить те следствия классической физики, которые сохраняют свою силу и в квантовой теории. Это - фундаментальные законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые остаются справедливыми для явлений в микроскопических масштабах. Далее, классические закономерности имеют место в тех случаях, когда квантовые скачки пренебрежимо малы в сравнении с характерными величинами физического явления, т. е. " классика макроскопически корректна".

Важными критериями законченной теории не только в физике, но и в любой другой области точных наук, является: 1)наличие в ней четко сформулированной, внутренне непротиворечивой аксиоматики (т.е.совокупности фундаментальных понятий, постулатов или принципов, принимаемых без доказательств) и 2) способность этой теории описать разнообразные обширные области опытных данных. Каждая из этих теорий обладает чёткой системой понятий и аксиом (постулатов) наподобие геометрии Евклида или Лобачевского, где все основано на пяти постулатах. Каждая из этих теорий остается верной в тех областях опыта (то есть, в областях фундаментальных экспериментов и индустриальных технологий), которые могут быть описаны с помощью введённых понятий и принципов. Степень завершённости этих теорий настолько высока, что никакие постепенные усовершенствования невозможны без радикального изменения их основ. Таких постулатов должно быть не слишком много -, так сказать, порядка " пяти". По возможности, они должны быть сформулированы на понятном языке и быть наглядными. Но это вовсе не обязательно. Если для их изложения удобно и экономно применить более сложные и менее наглядные формы понятий и логики, как это представлено в приложении 1А для квантовой механики, это должно быть сделано, и этим новым языком надо научиться свободно пользоваться.

Итак, если принять все эти постулаты нерелятивистской квантовой механики как незыблемые аксиомы и, вместе с ними, все выводы, теоремы и следствия, полученные на их основе, то в дальнейшем остаётся только последовательно применять методы квантовой механики для теоретических предсказаний и сравнивать их с результатами эксперимента.

В этой главе представлены основы квантовой оптики - её важнейшие понятия, постулаты, принципы и методы. Подробно излагается квантовое и классическое описание электромагнитного поля, выводятся соотношения неопределенности, рассматриваются вопросы когерентности оптических пучков света.

§ 2. КЛАССИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

В классической физике состояние системы считается заданным, если в фиксированный момент времени определены все обобщенные импульсы р и координаты q. Эволюция такой системы описывается каноническимиуравнениями Гамильтона:

(2.1)

где есть функция Гамильтона (для простоты рассматривается одномерный случай). Любая измеримая на опыте величина есть функция состояния системы , и её зависимость от времени определяется уравнением [19]:

(2.2)

где фигурные скобки есть скобки Пуассона, определяемые выражением

(2.3)

Функция Гамильтона для гармонического осциллятора с массой m=1 и собственной частотой описывается квадратичной формой:

(2.4)

В этом случае уравнения Гамильтона (2.1) преобразуются к виду

(2.5)

комбинируя которые получаем уравнения отдельно для обобщенных координаты и импульса

(2.6)

Их общие решения имеют вид гармонических функций:

(2.7)

где фаза , а есть начальная фаза осциллятора. Амплитуду колебаний А можно выразить через полную энергию Е. Подставив (2.7) в (2.4), получим

(2.8)

Фазовая траектория гармонического осциллятора имеет вид окружности радиуса A c центром в начале координат в плоскости переменных p и ω q (рис. 1). Положение системы задается точкой на этой окружности в каждый момент времени. Эта точка равномерно вращается по окружности с угловой скоростью ω против часовой стрелки. Фаза осциллятора характеризуется углом поворота радиус-вектора окружности на угол .

Перейдём от динамических переменных и к новым каноническим переменным и , которые связаны с динамическими переменными линейными преобразованиями и представляют собой следующие комплексно сопряженные величины:

(2.9)

где звёздочка означает операцию комплексного сопряжения, т.е. замену .

В новых переменных функция Гамильтона (2.4) примет следующий вид

(2.10)

которое получено путём подстановки в (2.4) переменных и , выраженных явно из (2.9). При этом не применялось правило перестановки алгебраических сомножителей. Поэтому (2.10) можно применить в дальнейшем для операторов (см. § 1.2). Учитывая, что оба слагаемых в (2.10) для алгебраических величин равны между собой, запишем H в простой квадратичной форме:

(2.11)

Напомним, что при переходе от переменных и к новым переменным и , связь производных определяется формулами типа:

пользуясь которыми можно представить уравнения Гамильтона в новых переменных для произвольного вида функции Гамильтона в виде

(2.12)

Подставляя в (2.12) функцию Гамильтона одномерного гармонического осциллятора в новых переменных (2.11) после дифференцирования получаем уравнения движения, эквивалентные (2.5):

(2.13)

В их справедливости, а также в их решении можно убедиться и непосредственно подстановкой общего решения для p и q в виде (2.7) в формулы (2.9) с последующим дифференцированием по времени t. Общее решение уравнений (2.13) выражается в этом случае через экспоненциальные функции:

(2.14)

где . Заметим также, что канонические уравнения Гамильтона (2.1) отличаются от уравнений (2.13) присутствием в последних мнимой единицы. Этот факт несущественен, так как заменой её можно исключить из уравнений (2.13), после чего они для переменных и приобретают канонический вид (2.1). Однако разделение динамических переменных на координату и импульс теряет свой первоначальный смысл в виду их сложения в соотношениях преобразования к новым динамическим переменным (2.9). Поэтому, более удобно, и в настоящее время общепринято, исходить из уравнений (2.13).

§3. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В СТАЦИОНАРНОМ СОСТОЯНИИ

В квантовой теории состояние системы характеризуется вектором состояния в некотором линейном гильбертовом пространстве [2]. Согласно постулатам квантовой механики (см. приложение 1A) измеримыми на опыте величинами p и q являются собственные значения соответствующих эрмитовых операторов и .

Среднее значение любого оператора определяется формулой

(3.1)

Эволюция квантовой системы может быть описана несколькими эквивалентными способами (представлениями).

В шредингеровском представлении операторы не зависят от времени. Зависимость от времени содержится в векторе состояния и определяется путём решения уравнения Шредингера

(3.2)

или в иной форме - посредством воздействия на начальное состояние унитарного оператора эволюции :

(3.3)

где - гамильтониан квантовой системы.

Если вектор состояния считать независящим от времени, то из формул (3.1) и (3.3) следует, что необходимо ввести зависимость операторов от времени следующим образом:

(3.4)

или, дифференцируя выражение (3.4) по времени, представить в такой форме

(3.5)

Такое представление называют гейзенберговским. Оно в некотором смысле соответствует классическому описанию (сравни с уравнением (2.2)), где скобки Пуассона заменяются коммутатором: . Очевидно, что оба представления -щредингеровское и гейзенберговское-приводят к одинаковым средним значениям:

(3.6)

Любой вектор состояния в линейном гильбертовом пространстве может быть задан на некотором базисе. Если в качестве базиса выбрать собственные векторы оператора координаты

(3.7)

которые удовлетворяют необходимым свойствам полноты

(3.8)

и ортонормированности

(3.9)

то вектор состояния можно записать в виде разложения

(3.10)

где скалярное произведение как функция координат

(3.11)

есть проекция вектора на ось с направлением в координатномпредставлении.

Аналогично можно выбрать в качестве базиса собственные векторы оператора импульса. Проекции вектора состояния в импульсномпредставлении имеют формально такой же вид

(3.12)

Оба представления связаны между собой посредством соотношения

(3.13)

Рассмотрим состояние квантового гармонического осциллятора, которое является собственным вектором гамильтониана

(3.14)

Из (3.5) видно, что для замкнутой системы оператор не зависит от времени. Положим

(3.15)

где - собственный вектор гамильтониана (оператора энергии), т.е.

(3.16)

с собственными значениями (спектр энергий гармонического осциллятора)

(3.17)

Здесь и далее используется атомная система единиц: . Переход в гауссову систему единиц (esu) или международную (SI) будет оговариваться особо в каждом конкретном случае..

Эти состояния называют стационарными, или энергетическими. Волновые функции и гармонического осциллятора в стационарных состояниях, или, другими словами, проекции вектора имеют следующий вид (соответственно в q- и p- представлениях) [18]:

=

(3.18)

=

где функции есть полиномы Эрмита n -ой степени от переменной , определяемые производящей формулой

= (3.19)

Вместо операторов координаты и импульса удобно ввести (в гейзенберговском представлении) операторы рождения и уничтожения и следующего вида:

(3.20)

Операторы и связаны с операторами и линейными преобразованиями (3.20), которые полностью совпадают с соответствующими преобразованиями между каноническими переменными и и динамическими переменными и (2.9) при описании классического гармонического осциллятора в § 1.2. Исходя из последних формул (3.20), выразим в явном виде и через и , возведём в квадратную степень и подставим в гамильтониан (3.14). После приведения подобных членов, получим гамильтониан осциллятора, зависящий от операторов рождения и уничтожения, в виде