Б). Вязкоупругие материалы: вязко-упругое разрушение

При нагружении или деформировании вязкоупругих материалов с трещинами их напряженно-деформированное состояние является четко выраженной функцией времени. Поэтому для оценки условий роста трещин даже в однородных и изотропных вязкоупругих материалах с использованием энергетических и силовых критериев возникают су­щественные трудности, поскольку при деформировании таких материа­лов только часть работы внешних сил запасается в виде потенциаль­ной упругой энергии, а другая часть рассеивается (диссипирует) в виде тепла. Величина диссипируемой энергии зависит от реологи­ческих свойств вязкоупругого материала и временных условий его нагружения, поэтому применимость G - или К- критериев роста трещин и возможность корректной оценки трещиностойкости вязко-упругих материалов с помощью параметров Gс и К_с в решающей степени зависят от указанных выше факторов.

Оценку силы G, движущей трещины в вязкоупругих материалах, обычно проводят с использованием линейной теории вязкоупругости [9, 10, 97, 98]. При этом доказывается, что для описания напря­женно-деформированного состояния вязкоупругих тел как с неподвиж­ными (стационарными), так и с монотонно распространяющимися тре­щинами применим принцип Вольтерра, в соответствии с которым реше­ние любой задачи вязкоупругости можно получить из решения соответ­ствующей задачи классической упругости заменой упругих постоянных временными операторами (операторами наследственной теории упру­гости). Исходя из этого, выражение (1.5), полученное для расчета сил G, движущих трещины в линейно-упругих материалах, для линейных вязкоупругих материалов представляют в виде

где E ₀= E (0) - мгновенный модуль упругости; Π (t-s) - яд­ро ползучести, характеризующее " память" материала и зависящее от его реологических свойств; t и s- данный и прошедший момен­ты времени соответственно.

Формула (1.73) справедлива для плоского напряженного состояния. При расчете трещинодвижущей силы G в условиях плоской деформации в правую часть выражения (1.73) следует ввести множитель с, учитывающий эффект Пуассона, заменив при этом упругую посто­янную v временным оператором v_t. Из выражения (1.73) сле­дует, что в отличие от линейно-упругих материалов в случае линей­ных вязкоупругих материалов трещинодвижущая сила G зависит не только от геометрии тела, размеров трещины, типа нагружения и уровня действующей нагрузки, но также от предыстории нагружения и ре­лаксационных свойств материала.

В механике трещин показано [15, 99], что если вязкоупругий материал обладает мгновенной упругой реакцией на внешнее механическое воздействие, что характерно, например, для материалов, де­формирование которых описывается моделями Максвелла или стандарт­ного линейного вязкоупругого тела, и если условия нагружения та­ковы, что длительность действия нагрузки t мала по сравнению с характерным временем релаксации материала τ (t< < τ), то трещинодвижущая сила G для линейного вязкоупругого материала при заданном уровне нагрузки идентична трещинодвижущей силе G для линейно-упругого материала. При этом распространение трещин в вязкоупругом материале возможно при выполнении тех же условий, что и для линейно-упругого материала, т.е. при G> R=G_c.

Если же вязкоупругий материал не обладает мгновенной упруго­стью, что характерно, например, для материалов, деформирование которых описывается моделью Кельвина-Фойхта, то при быстром приложении нагрузки (t> > τ) трещинодвижущая сила G всегда будет равна нулю, а значит, если сопротивление росту трещин такого материала отлично от нуля, то распространение трещин в нем оказы­вается как бы невозможным при любой сколь угодно высокой нагрузке, что противоречит здравому смыслу. Следовательно, G -критерий применим только к линейным вязкоупругим материалам, обладающим мгновенной упругостью, причем при нагружении в условиях t< < τ их трещиностойкость G_с идентична трещиностойкости соответст­вующих линейно-упругих материалов.

В отличие от линейно-упругих материалов при нагружении линей­ных вязкоупругих материалов с трещинами в условиях монотонного возрастания нагрузки с постоянной скоростью достигаемый уровень трещинодвижущих сил G при одинаковой величине напряжения σ и прочих равных условиях в решающей степени зависит от скорости нагружения [9]. Это связано с тем, что с изменением скорости на­гружения изменяется соотношение между составляющими работы внеш­них сил - энергией, запасаемой вязкоупругим материалом, и энерги­ей, рассеиваемой в нем в виде тепла.

Степень изменения этого соотношения с изменением скорости нагружения в свою очередь зависит от реологических свойств материа­ла. Очевидно, что чем больше энергии диссипирует при монотонном нагружении вязкоупругого тела с трещиной, тем большую работу дол­жны совершить внешние силы для достижения критического уровня ин­тенсивности высвобождения энергии деформации и, следовательно, тем больше чувствительность параметров трещиностойкости G_c вяз­коупругого материала к скорости нагружения. Поскольку реологичес­кие свойства, в частности время релаксации, вязкоупругих материа­лов резко зависят от температуры, то доля диссипируемой энергии, а значит и параметры трещиностойкости таких материалов также долж­ны существенным образом зависеть от температуры окружающей среды.

Таким образом, применимость G -критерия для оценки условий начала роста трещин в линейных вязкоупругих материалах ограничи­вается материалами, обладающими мгновенной упругой реакцией на внешнее механическое воздействие. Однако даже в этом случае па­раметр трещиностойкости G_c резко зависит от температурно-вре­менных (скоростных) условий нагружения и реологических свойств материала, т.е. не является материальной константой. Поэтому для корректной характеристики трещиностойкости линейных вязкоупругих материалов, обладающих мгновенной упругостью, необходимо экспери­ментально определять параметры G_c в широком диапазоне темпе­ратур и скоростей приложения нагрузки, в том числе и в условиях длительного статического нагружения.

Силовой K -критерий роста трещин также применим к однородным и изотропным линейным вязкоупругим материалам [9, 10, 15, 97- 102]. По аналогии с энергетическим G -критерием построение К -критерия роста трещин в вязкоупругих материалах проводят с при­менением линейной теории вязкоупругости и принципа Вольтерра. До­казывается, что в любой момент времени напряжения в окрестности вершин трещины в линейном вязкоупругом материале, как и в.линей­но-упругом, убывают обратно пропорционально корню квадратному из расстояния и тем больше, чем длиннее исходная трещина и больше действующая нагрузка [l0, 97]. При этом поле напряжений в ок­рестности фронта трещины в линейном вязкоупругом материале в лю­бой момент времени описывается асимптотическими формулами, ана­логичными формулам (1, 33) для линейно-упругого материала [100]: σ _ij(t) = [K(t)/(2nr)^t/2]f_ij(θ) (1.75), где t- время.

Из выражения (1.75) следует, что в случае линейных вязкоупру­гих материалов коэффициент интенсивности напряжений K(t) по-прежнему является мерой всех напряжений и деформаций вблизи вер­шин трещин, а значит, определяет и условия, при которых оказы­вается возможным их распространение. Это дает основание рассмат­ривать коэффициент интенсивности напряжений как параметр сил, движущих трещины в вязкоупругих материалах. Однако в отличие от линейно-упругих и пcевдоупругих материалов в cлучае линейных вязкоупругих материалов коэффициент интенсивности напряжений K(t) определяется не только значениями внешней нагрузки, действующей в данный момент времени t, но и всеми ее зна­чениями за все время пребывания вязкоупругого материала с тре­щиной в напряженном состоянии, т.е. всей предысторией его нагруже­ния:

где Ft0(σ) - функционал от компонент внешней нагрузки (пред­полагается, что нагрузка прикладывается в момент времени t= 0). Если процессы деформирования вязкоупругого материала описыва­ются уравнениями Больцмана - Вольтерры [103], то при

выражение (1.76) принимает вид [104]: · при нагружении в режиме ползучести

· при нагружении в режиме релаксации напряжений

где Е ₀ - модуль мгновенной упругости; σ (t), ε (t), K(t) напряжение, деформация и коэффициент интенсивности напряжений в данный момент времени t; Π (t-s) и P(t-s)- ядро ползучести и ядро релаксации соответственно; К₀=К(0) - коэффициент интенсивности напряжений в момент прило­жения нагрузки t = 0.

Вторые слагаемые в правой части выражений (1.79) и (1.80) ука­зывают на зависимость трещинодвижущей силы K(t) от реологичес­ких свойств вязкоуцрутих материалов. Это можно наглядно проиллюстрировать на примере материалов, деформирование которых описыва­ется моделями Максвелла и Кельвина-Фойхта. В первом случае при нагружении материала с трещиной, например в режиме релаксации напряжений, выражение (1.77) принимает вид

где σ ₀ и К₀ - напряжение и коэффициент интенсивности напряже­ний в момент приложения нагрузки соответственно; τ - время ре­лаксации.

Следовательно, при нагружении материала максвелловского типа в режиме релаксации напряжений коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины уменьшается с увеличением длительности нагруже­ния, достигая в пределе (при t→ ∞) нулевого значения. При этом снижение коэффициента интенсивности напряжений происходит тем стремительнее, чем меньше время релаксации, характерное для данного материала. B отличие от этого при нагружении в аналогич­ном режиме вязкоупругого тела типа Кельвина-Фойхта коэффициент интенсивности напряжений будет оставаться практически постоянным: [K(t)=К₀=const]_, поскольку время релаксации такого материа­ла бесконечно велико (t→ ∞).

Таким образом, помимо предыстории нагружения параметр сил К(t), движущих трещины в линейных вязкоупругих материалах, резко зави­сит от их реологических свойств и прежде всего от времени релакса­ции. Поскольку время релаксации вязкоупругих материалов, как из­вестно, является функцией температуры, то величина параметра K(t) должна также существенно изменяться с изменением темпера­туры окружающей среды.

Считается, что в отличие от линейно-упругих материалов сопроттивление росту трещин линейных вязкоупругих материалов, выражае­мое силовым параметром К_R, может оставаться постоянным, умень­шаться или возрастать с увеличением длительности действия на­грузка и длины трещины [2]. При этом, как и в случае трещино­движущей силы К(t), главенствующую роль играют температурно-­временные условия нагружения и реологические свойства материала.

В механике трещин линейных вязкоупругих материалов предполагает­ся, что их разрушение происходит идеально хрупко и не сопровожда­ется докритическим подрастанием трещины [9, 97]. Критический рост трещины оказывается возможным в тот момент времени, когда трещинодвижущая сила K(t) достигнет или превзойдет сопротивление материала росту трещины K_R(t), которое принимается за критичес­кое значение K_с при данных временных условиях нагружения. Исходя из этого, силовой критерий роста трещин применительно к линейным вязкоупругим материалам записывают следующим образом [2]:

Параметр К_с рассматривают как характеристику трещиностойкости материала, зависящую от температурно-временных условий нагружения.

Следует отметить, что в отличие от линейно-упругих и псевдо­упругих материалов, для которых силовой К-критерий и энергетичес­кий G-критерий роста трещин эквивалентны, длялинейных вязко-упругих материалов они могут давать прямо противоположные резуль­таты. Так, например, в работах [l5, 99] показано, что силовой К-критерий роста трещин применим к линейным вязкоупругим материа­лам, не обладающим мгновенной упругостью (типа Кельвина - Фойхта), и критический рост трещин в них происходит при выполнении условия (1.83), в то время как G-критерий роста трещин не применим к таким материалам, поскольку предсказывает невозможность распро­странения в них трещин даже при. сколь угодно высоких нагрузках, что нереально (см. выше). Кроме того, даже если и силовой, и энер­гетический критерии в принципе применимы к данному линейному вяз­коупругому материалу, взаимосвязь между силовыми и энергетически­ми параметрами трещинодвижущих сил (К и G) и показателями трещи­ностойкости (К_с и G _c) неоднозначна и зависит от временных усло­вий нагружения. Так, например, при нагружении в режиме релаксации напряжений взаимосвязь между G и К описывается выражением [100]

в то. время как при монотонном нагружении в условиях возрастания нагрузки с постоянной скоростью (dK/dt = К =const) она имеет вид [100]:

Таким образом, при использовании силового критерия роста трещин применительно к линейным вязкоупругим материалам следует учитывать, что и трещинодвижущая сила K(t) и сопротивление росту трещин K_R(t) являются сложными функциями температурно-временных усло­вий нагружения и реологических свойств материала. Параметр трещи­ностойкости K_c, определяемый экспериментально, не является мате­риальной константой и характеризует сопротивление данного линей­ного вязкоупругого материала развитию трещин только при заданных температурно-временных условиях испытаний. Поэтому для корректной характеристики трещиностойкости вязкоупругих материалов с помощью параметра к_с необходимо определять его значения в широком диапа­зоне температур и времен (скоростей) приложения нагрузки.