Нормальный закон распределения

При измерениях физических величин в тех случаях, когда основную роль играют случайные погрешности, все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью, т.к. случайные погрешности образуются в результате совокупности ряда мелких не учитываемых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую погрешность, причем часть из них положительна, часть – отрицательна. Поэтому общая погрешность, образующаяся в результате сложения таких элементарных погрешностей, может иметь различные значения, каждому из которых соответствует разная вероятность.

Для того чтобы выявить случайную погрешность, необходимо измерение повторить несколько раз. Если каждое измерение дает несколько отличительные от других измерений результаты, то случайная погрешность играет существенную роль.

Допустим, что истинное значение измеряемой величины есть α,

α x = α + ∆ х,

результат измерения, отягощенный случайной погрешностью ∆ х, т.е. также некоторая случайная величина.

Обычно принимают, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, или распределению Гауса.

Этот закон основан на следующих предположениях:

1. Случайные погрешности ∆ х вызываются действием большого числа причин, каждая из которых приводит к малому по абсолютному значению элементарному отклонению + ε или – ε.

2. Одинаковые по абсолютному значению элементарные отклонения равновероятны.

3. Причины, вызывающие элементарные отклонения, действуют независимо.

Эти предположения приводят к закону распространения ошибок, который можно сформулировать так: вероятность того, что случайная величина (например, результат измерения, отягощенный случайной погрешностью) примет значение в пределах бесконечно малого интервала между х и х + dх, определяется как Υ (х) d х, где φ (х) – некоторая функция, называемая плотностью вероятности.

Плотность вероятности нормального распределения выражается следующим образом:

φ (х) = 1 Е х - α ²

σ √ 2 π 2 σ ², -- ∞ < х < +∞ (9.1)

где α и σ ² – параметры распределения.

Параметр α – истинное значение измеряемой величины, он определяет расположение центра распределения на числовой оси.

Параметр σ ² называют дисперсией, он служит мерой рассеяния случайной величины. Положительное рассеяние квадратного корня из дисперсии σ называют средним квадратическим отклонением.

Плотность вероятности нормального распределения достигает максимума в точке α.

Наиболее вероятны значения х, близкие к α: по мере удаления от α значения х становятся все менее вероятными, или вероятность появления случайных погрешностей х - α есть убывающая функция их величины.

Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения Х от α равновероятны.

С уменьшением среднего квадратического отклонения кривые нормального распределения становятся более крутыми, т.е., чем меньше π, тем меньше вероятность появления больших по абсолютному значению случайных погрешностей (выше точность измерений).