Багатофакторні виробничі функції

В економіко-математичному моделюванні широко використовують багатофакторні виробничі функції.

Один із найбільш раціональних способів переходу від двофакторних до багатофакторних функцій полягає в такому.

Розгляньмо двофакторну функцію:

y = j₁ (x ₁, x ₂). (5.8)

Аргумент x ₂ цієї функції розглянемо як узагальнений показник, що залежить також від двох інших чинників x ₃, x ₄:

x ₂ = j₂(x ₃, x ₄),

де j₂ — деяка функція. Підставляючи цей вираз у формулу (5.8), отримаємо трифакторну функцію

y = j₁(x ₁, j₂(x ₃, x ₄)),

що виражає залежність показника від аргументів x ₁, x ₃, x ₄. Цей процес можна продовжити, вважаючи, зокрема, що х ₃, у свою чергу, залежить від деяких чинників.

У загальному вигляді: якщо задано (п – 1) двофакторних функцій j₁(x ₁, x ₂), j₂(x ₃, x ₄), j _{n –1}(x _{2 n –3}, x _{2 n –2}), то дістанемо п- факторну функцію:

y = f (x ₁,..., x_n)

у результаті послідовної підстановки їх. Операція такої підстановки (суперпозиції) має очевидний економічний сенс: другий аргумент, наприклад двофакторної функції, послідовно подається у вигляді залежності від показників нижчих (деталізованих) рівнів. Неважко перевірити такі властивості операції суперпозиції:

а) якщо j₁, …, j _{n –1} — неспадні функції, то f — також неспадна функція;

б) якщо j₂, …, j _{n –1} — лінійно-однорідні функції, а j₁ — однорідна функція ступеня однорідності g, то f — однорідна функція ступеня однорідності g;

в) якщо j₁, …, j _n — увігнуті неспадні функції, то f — увігнута неспадна функція.

Отже, якщо двофакторні функції j₁, …, j _{n –1} є неокласичними, то отримана в результаті їх суперпозиції функція f також буде неокласичною.

Для виробничих функцій від n змінних справедливими є твердження, які показують, що клас функцій, поданих у вигляді суперпозиції будь-яких двофакторних функцій, є досить широким. Строго доводиться, зокрема, що будь-яка неперервна функція f (x ₁, …, x_n) від n змінних (за умови n ³ 4) може бути подана у вигляді суперпозиції неперервних функцій від трьох змінних.
У свою чергу кожна неперервна функція від трьох змінних може бути отримана як суперпозиція функцій від двох змінних. Відомо також, що будь-яку неперервну функцію від двох змінних можна з будь-якою заданою точністю апроксимувати суперпозицією неперервних функцій від однієї змінної та функції y = x ₁ + x ₂.

Перелік та окремі характеристики деяких класів багатофактор­них виробничих функцій наводяться у низці підручників[2].