Линейная алгебра

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

			– 1
			– 5

ЗАДАНИЕ N 2
Даны матрицы Тогда матрица равна …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Если матрица вырожденная, то значение a равно …

			– 6
			– 5

Решение:
Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Тогда

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Тогда

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен …

Решение:
Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях, поэтому столбцы и строки матрицы можно менять местами, складывать, вычитать, умножать на числа, отличные от 0, с целью приведения её к диагональному виду. Число ненулевых элементов главной диагонали будет равно рангу матрицы. В данном случае сначала удобнее обнулить элементы первого столбца под первым элементом первой строки и т.д.:

Только один диагональный элемент ненулевой, поэтому ранг матрицы

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Обратная матрица
Для матрицы не существует обратной, если x равно …

Решение:
Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть тогда обратной матрицы не существует при

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений …

			имеет бесконечное множество решений
			не имеет решений
			имеет два решения
			имеет единственное решение

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определение линейного пространства
Аксиомой линейного пространства L не является …

			,
			,
			,
			,

Решение:
Множество L образует линейное пространство, если для любых двух его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число ; со свойствами:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Базис и размерность линейного пространства
Дано трехмерное векторное пространства с базисом Если векторы и то вектор может иметь вид …

Решение:
Три вектора образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю. Так как и то

Тогда Этому условию удовлетворяет, например, вектор то есть Остальные векторы, представленные среди ответов, не удовлетворяют данному условию.