Методические указания к лабораторной работе № 3

В соответствии с частотным критерием Найквиста, замкнутая система устойчива, если АФЧХ устойчивой (или имеющей нулевые корни характеристического уравнения) системы в разомкнутом состоянии не огибает точку с координатами [–1, j0] или значение ФЧХ в частоте среза меньше 180° по модулю. В логарифмическом масштабе это значит, что замкнутая система устойчива, если

при . (3.1)

При этом запас устойчивости по фазе

(3.2)

а запас по амплитуде определяется значением L_p при частоте, где .

Для минимально-фазовой системы определение приближённого значения можно проводить непосредственно по среднему наклону ЛАЧХ в частоте w_С без построения ЛФЧХ. При этом

, (3.3)

где L_В(w_i) и L_Н(w_i) – значения ЛАЧХ при частотам, отстоящих от w_i на 1 декаду в сторону увеличения и уменьшения частот соответственно. Например, на рис. 9, а представлена ЛАЧХ некорректированой САУ в разомкнутом состоянии с параметрами k₁ = 3, k₂ = 5, Т₁ = 0, 812 с, Т₂ = 0, 1 с, Т₃ = 0, 176 с. Там же представлены , построенные соответственно по точным формулам (1.1) и (1.3) и по среднему наклону ЛАЧХ (3.3). Из графика видно, что погрешность определения фазы не превышает 5°, что вполне допустимо в инженерных расчётах. Из этого рисунка следует, что , т. е. согласно формуле (3.1) некорректированная замкнутая САУ неустойчива и следует вводить корректирующее звено.

Передаточная функция и ЛЧХ системы в разомкнутом состоянии при введении последовательной коррекции определяются выражениями

. (3.4)

На рис. 9 б приведён пример опережающей коррекции. В соответствии с (3.2) и (3.3) для скорректированной САУ

.

Запас устойчивости по фазе и по амплитуде лог, т. е. замкнутая САУ устойчива. На рис. 9, в с помощью запаздывающей последовательной коррекции (L₅ при k ₃ = 0, 25, k ₄ = 1, k ₅ = 0 или при k ₃=0, 25, k₄ =k₅ = 1) получили лог
( определяется значением L_p при частоте, где L_В – L_Н = – 4 лог).

Нахождение параметров корректирующего звена 5 в работе упрощается в том случае, если учесть, что , т. е. набираемым на стенде параметрам k₃ = 0, 25; 0, 5; 1; 2; 4 соответствуют L₅ (¥) = – 1, 2;
– 0, 6; 0; 0, 6; 1, 2 лог. Кроме того, известно, что наиболее эффективное действие опережающей коррекции будет, если в область поместить участок перехода с нулевого на +1 наклон ЛАЧХ корректирующего устройства L₅, а для запаздывающей коррекции – участок перехода с –1 на нулевой наклон L₅. Следуя указанным рекомендациям, выбирается k₃, T₄, определяется Dj, DL и производится проверка по двум соседним параметрам коррекции. Окончательное решение принимается по условию обеспечения максимального быстродействия (максимального значения w_с).

Результирующая ЛАЧХ замкнутой САУ L_з, необходимая для построения переходной функции, может быть найдена упрощенно по аппроксимированной ЛАЧХ с учётом поправок при w = 0, w = w_С.

Экспериментально частоту среза (w_С = 2p/t) неустойчивой некорректированной САУ можно определить, замерив период t расходящихся колебаний на выходе САУ.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте частотный критерий устойчивости Найквиста.

2. Как определить запас устойчивости по фазе и амплитуде ?

3. Какие существуют виды последовательных корректирующих устройств, достоинства и недостатки корректирующих устройств различного вида?

4. Как выбрать коррекцию каждого вида?

Литература

[1, c.247–260];

[3, c.144–162, 224–238];

[4, c.116–120, 162–165];

[5, 13].

Рис. 9 ЛЧХ некорректированной САУ (а), ЛАЧХ при последовательной опережающей (б) и запаздывающей (в) коррекции при достаточных запасах устойчивости по фазе Dj (желательно Dj = 60°) и амплитуде (D L = – 0, 75 лог)