Преобразования координат на плоскости

Литература: [1], гл. 9, § 1, стр. 207–218; [7], гл. 2, § 13, 15, стр.51–54, 55-59.

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть даны два базиса B =() и B ΄ =(). Разложим векторы базиса B ΄ по векторам базиса B: .

Матрица , где координаты вектора образуют первый столбец, а координаты вектора – второй, называется матрицей перехода от базиса B к базису B ΄.

Базисы B и B ΄ ориентированы одинаково (противоположно), если определитель матрицы перехода положителен (отрицателен).

Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат R =(O, ) и R ΄ =(O΄, ). Пусть в первой системе координат точка M имеет координаты (), а во второй – (). Формулы преобразования аффинной системы координат имеют вид:

,

где () – координаты точки O΄ в репере R. При переходе от прямоугольной системы координат R =() к прямоугольной системе R ΄ =(O΄, ) формулы преобразования примут следующий вид: , где , если R и R ΄ ориентированы одинаково, и , если реперы ориентированы противоположно.

Вопросы для самоконтроля

1. Какой вид имеет матрица перехода при переходе от базиса () к базису: 1) (); 2) ()?

2. Может ли определитель матрицы перехода быть равным нулю? Обоснуйте ответ.

3. Какими свойствами обладает определитель матрицы перехода от одного базиса к другому?

4. Что такое ориентация векторного пространства?

5. Какая плоскость называется ориентированной?

6. Какая система координат называется: 1) левой? 2) правой? Приведите примеры.

7. Определите понятие «направленный угол между векторами и ».

8. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении координат вектора в ортонормированном базисе через и .

9. Выведите формулы для вычисления направленного угла между двумя векторами и .

10. Сформулируйте задачу преобразования координат.

11. Запишите формулы преобразования координат и объясните смысл коэффициентов перед переменными.

12. Какие частные случаи преобразования координат можно выделить? Какой вид имеют формулы преобразования координат в каждом случае?

13. Какой вид имеют формулы преобразования координат, если одна прямоугольная система координат получена из другой вращением вокруг начала координат на угол ?

Пример 1. Определить величину угла, на который повернуты оси, если формулы преобразования прямоугольной системы координат заданы равенствами ; .

Решение. Как известно формулы преобразования прямоугольной системы координат имеют вид:

, , где .

Сравнив эти формулы с данными в условии задачи, получим: , , где – величина угла поворота осей. Так как , то угол поворота лежит в IV координатной четверти, тогда .

Пример 2. Даны две точки М (9; − 3) и М ₁(− 6; 5). Начало координат перенесено в точку М, а оси координат повернуты так, что положительное направление оси абсцисс совпадает с направлением отрезка ММ ₁ (Рис. 20). Вывести формулы преобразования координат.

Решение. Выполним все построения, указанные в задаче: в системе координат ОХУ построим точки М (9; − 3 ) и М ₁(− 6; 5), перенесем начало системы координат в точку М (9; − 3), получим промежуточную систему координат МХ ′ ′ У ′ ′, которую повернем на угол величины так, чтобы положительное направление новой оси абсцисс МХ ′ ′ совпало с направлением отрезка М ₁ М и тем самым получим систему координат МХ ′ У ′, координаты x ′, y ′ точек которой необходимо связать с координатами x, y этих же точек в системе координат ОХУ. Координаты нового начала нам известны: из найдем

.

Тогда формулы преобразования прямоугольных координат примут вид: , .

Задачи

1. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы координат R =(O, , ) к системе , если известны координаты точки O ′ в репере R и координаты векторов в базисе (, ): 1) O ′ (0, 1), (1, 1), (− 3, 2); 2) O ′ (− 10, 1), (− 1, − 1), (0, 2). В каждом из случаев выясните, как ориентированы реперы R и R ′ одинаково или противоположно?

2. Какие из формул, приведенных ниже, можно считать формулами преобразования аффинной системы координат?

а) , ; б) ;

в) .

3. Медианы AA ₁ и CC ₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Даны координаты точки D (− 2, 1) в системе координат R =(C, ). Найти координаты точки D в системе R ′ =(M, ).

4. Найти систему координат , в которой линия, заданная в системе R =(O, , ) уравнением , имела бы уравнение .

5. Какие из следующих формул, заданных в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами преобразования прямоугольных декартовых систем координат:

1) ;

2) ; 3) .

6. Фигура в прямоугольной декартовой системе координат R =(O, задана уравнением Найдите уравнение этой фигуры в прямоугольной системе координат R ′, которая получена из репера R поворотом вокруг начала координат на угол 30⁰: 1) по часовой стрелке; 2) против часовой стрелки.

7. Как изменится уравнение линии, заданной в прямоугольной декартовой системе координат R =(O, уравнением , при переходе к прямоугольной декартовой системе координат R ′ =(O, , оси которой направлены по биссектрисам координатных углов репера R?

8. В системе координат R =(O, , ) даны точки A (2, 1), B (3, 0), C (1, 4). Найти систему координат R ′ =(O′, ), в которой те же точки имеют координаты A (1, 6), B (1, 9), C (3, 1).

Домашнее задание

1. Дан параллелограмм ABCD. В системе координат (A, ) точка E имеет координаты (). Найти координаты точки E в системе координат (B, ).

2. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы R =(O, к системе R ′ =(O ¢, противоположной ориентации, если угол между векторами и равен 30⁰ и O ′ (0, − 2).

3. Написать формулы преобразования координат: а) при переходе от системы R =(O, , ) к системе R ′ =(O ′, ), если

а) ; б) начало O системы переносится в точку O ′ (− 3, 2).

Тема 2.5. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств