Действие случайных ошибок.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Случайные ошибки возникают из-за влияния разнородных факторов, учёт которых невозможен.

В случае если все линии равноточные, а действие систематических ошибок равно нулю, вероятнейшее место будет находиться на пересечении антимедиан треугольника, которая представляет собой зеркальное изображение медианы относительно биссектрисы.

При увеличении треугольника в длину, обсервованное место смещается к более короткой стороне и прямому углу, что соответствует выводам из теории ошибок (чем ближе угол пересечения двух линий положения к 90°, тем вес этой точки больше).

8.2. Совместное действие систематических и случайных ошибок.

В действительности систематические и случайные ошибки действуют всегда совместно. Исходя из этого, обе категории ошибок необходимо согласовывать так, что бы они не противоречили друг другу.

Следовательно, для трёх линий положения самой выгодной разностью азимутов является 120°.

Ориентиры для наблюдений не следует выбирать в одной половине горизонта, если же по ряду причин место выбрано именно таким образом, то метод биссектрис следует применять с большой осторожностью, желательно после анализа допущенных ошибок.

При выборе ориентиров в разных частях горизонта, вероятнейшее место всегда находится внутри треугольника погрешностей и, как правило, удобнее применять метод антимедиан.

8.3. Отыскание вероятнейшего места судна при неравноточных измерениях.

В предыдущих параграфах, рассматривался случай обработки серии неравноточных измерений одного и того же навигационного параметра, зачастую приходится рассматривать случай обработки неравноточных измерений различных навигационных параметров, т.е. нескольких ЛП с различными СКП и соответственно весами p. Как уже говорилось ранее вес, это величина, характеризующая степень доверия к данному измерению или линии положения по сравнению с другими измерениями или линиями положения. Следовательно, в фигуре погрешностей состоящей из трёх или четырёх линий вероятнейшее место будет ближе к линии имеющей больший вес и к точкам пересечения линий, угол между которыми, ближе к 90°.

Существует несколько, как графических, так и аналитических способов отыскания вероятнейшего места, при наличии трёх или более, неравноточных ЛП.

d1, d2, d3 – перпендикуляры опущенные из вероятнейшего места Кв на соответствующие линии положения.

1. Рассчитать абсолютные и относительные веса ЛП и обозначить относительные веса около каждой ЛП.

2. На глаз выбрать точку ближе к более тяжелым ЛП и углам более близким к 90°.

3. Провести из полученной точки перпендикуляры ко всем ЛП, измерить их длину и умножить каждую длину на соответствующий вес.

4. Построить по ним векторную сумму вида

, для этого откладывается из нанесённой точки первый вектор, с длинной равной P₁d₁ и направлением первого перпендикуляра d₁. Последующие вектора, откладываются из конца предыдущего.

5. Соединить начало и конец построения отрезком прямой, его середину принимают за новое место судна, если длинна полученного отрезка не более 0, 5 мили, принимают полученную точку за вероятнейшее место, в противном случае построение повторяют до тех пор, пока отрезок не будет меньше 0, 5 мили.

Этот метод предполагает последовательное нахождение суммы весов точек пересечения 2-х ЛП и как результат, суммарный вес и вероятнейшее место судна.

1. Рассчитываем абсолютные веса ЛП, затем по формуле:

получаем относительные веса и округляем их до целого значения.

2. Получаем углы пересечения ЛП с меридианом b_i = t_i ± 90°.

3. Получаем углы пересечения ЛП друг с другом Q_ij, вычитая из большего значения b_i меньшее b_j.

4. Определяем веса точек пересечения ЛП P_ij по формуле:

Вес точек пересечения линий положения с небольшим углом рассчитывать не имеет смысла за их малостью.

5. Последовательно получаем веса промежуточных точек, помня о том, что веса использованных точек заменяются совместным весом промежуточной.

Например, на рис.8. вес промежуточной точки F, лежащей на отрезке между точками АВ, равен сумме весов этих точек, а сама точка располагается на расстоянии, обратно пропорциональном весам точек, то есть

Аналогично рассчитывается вес и положение точки G на отрезке ED, вес и положение точки H и точки M₀.

Этот прием удобен для объединения нескольких мест судна, имеющих различную точность, т.е. вместо нескольких, получаем одно вероятнейшее место судна, с новым соответствующим СКП.

Например, при незначительном расхождении между обсервованным и счислимым местами судна их можно заменить вероятнейшим местом, полученным центрографическим методом или штурманским приемом.

Такой метод определения вероятнейшего места судна применяется в корректируемом счислении.

Общий случай построения эллипса погрешностей

5. Найти вероятнейшее место судна центрографическим способом или штурманским приемом. Вероятнейшее место судна – центр эллипса погрешностей.

В свободном месте карты в крупном масштабе строят векторную сумму абсолютных весов под двойными углами 2b_i каждой ЛП к меридиану.

Величина результирующего вектора построения дает величину

в масштабе построения, а его угол с его угол с N_u равен 2b₀.

решив систему уравнения полуосей эллипса получим:

8. Под углом b к Nu c центром в вероятнейшем месте судна построить эллипс погрешностей, который двумя взаимноперпендикулярными ЛП в виде осей эллипса эквивалентен информации всех исходящих ЛП.

Вероятность нахождения места судна внутри эллипса 0, 39, а для выполнения требований ИМО строят эллипс с полуосями, увеличенными в 2, 5 раза.

§9. Аналитическое определение места судна и оценка точности.

Если для определения места судна использовалось более двух навигационных параметров, то в результате мы получим следующую систему уравнений линий положения:

для равноточных измерений. Для неравноточных измерений, нам каждое уравнение необходимо умножить на

, таким образом мы приведём его к весу равному единице.

Проблема состоит в том, что система является неопределённой, так как число уравнений превышает количество неизвестных, а свободные члены Dn содержат в себе индивидуальную ошибку измерений. Следовательно, система несовместна, то есть из множества возможных решений не существует такого, которое удовлетворяло бы всем уравнениям системы.

Алгебраически такая система не решаема, можно говорить, только о нахождении таких значений Dj и Dl, которые будут давать минимальные значения квадратов поправки v_i, то есть [v_i²]=min. Такой способ решения называется методом наименьших квадратов.

и решив систему методом наименьших квадратов, мы получим систему двух уравнений, называемых нормальными для равноточных измерений:

Решив, данную систему методом определителей получим:

Систему нормальных уравнений можно так же решить методом итераций: в этом случае выделяем неизвестные, после чего система выглядит следующим образом:

Вычисления продолжают до тех пор, пока разность между двумя последовательными приближениями не окажется в пределах заданной точности e.

Удобство метода - в однообразии расчетов и простоте машинного алгоритма. Полученный таким путем результат ОМС не означает, что обсервованные координаты j₀ и l₀ имеют точность в пределах e, точность j₀ и l₀ оценивается эллипсом или радиальной СКП которых зависит от точности исходных ЛП.

Пример: Расчёт коэффициентов нормальных уравнений.

Дано: Направления градиентов, переносы и СКП 4 линий положения:

Рассчитать: коэффициенты нормальных уравнений.

Для расчета эллипса используют уравнения исходных ЛП и их решение методом наименьших квадратов. Поскольку оценка точности места судна выполняется после расчета вероятнейшего места судна как центра эллипса с координатами j₀ и l₀, то итоги вычисления нормальных уравнений легко применить для расчета эллипса погрешностей. При этом учитывается то, что нормальные уравнения являются уравнениями эквивалентных ЛП, т.к. коэффициенты при Dj₀ и

этих уравнений показывают их взаимную перпендикулярность.

Этот метод, является частным случаем применения сопутствующей линии положения (СЛП). В принципе, этот подход возможен и для других типов изолиний или линий положения, например дистанции (крюйс-дистанция), но изолиния пеленга имеет самую простую форму и наглядность, поэтому остановимся именно на нём.

Этим методом, с достаточной точностью, можно определить все параметры движения судна (скорость, курс) и новое (или предыдущее) место судна, которое можно считать обсервованным.

Для определения этих параметров, необходимо знать – пеленг на маяк, обсервованное место судна, и дополнительная изолиния, причём последовательность получения этих параметров не важна. Условием использование метода, есть постоянство курса и скорости судна.

Предположим, что судно движется с постоянной скоростью и курсом, точное значение которых несущественно. В один из моментов времени Т₁ получено точное (обсервованное) место судна М ₁, следовательно, возможный путь судна (ВПС), можно проложить через эту точку.

В другой момент времени Т₂, взят пеленг на маяк или получена какая-либо ЛП. За этот промежуток времени t₂₁, судно, если бы действительно следовало этим курсом, пришло бы в точку М₁ и прошло бы расстояние S₂₁, предполагаемая скорость судна при этом была бы:

Очевидно, что в момент времени T₃ за некоторый другой промежуток времени t₃₂, следуя этой скоростью, судно вдоль ВПС прошло бы расстояние:

Теперь через эту же точку проведём другой ВПС', понятно, что в момент времени Т₂, судно бы оказалось в точке М'₂ и прошло бы расстояние S'₂₁, предполагаемая скорость при этом была бы:

и за промежуток времени t₃₂, следуя этой скоростью, судно вдоль ВПС' прошло бы расстояние:

Проведя через точки М₃ и М'₃ линию, мы увидим, что она параллельна сделанному пеленгу или ЛП, следовательно, можно сделать вывод, что на этой линии лежат все возможные места судна на момент T₃ и, разумеется, истинное место.

Особенностью этой линии является то, что она перемещается вместе с судном, сопутствует ему, потому и названа – сопутствующей линией положения СЛП.

Если в момент T₃ сделать наблюдение некоторой другой изолинии, например изобаты, то на пересечении с СЛП мы получим другое обсервованное место судна и через обе обсервованные точки, можем провести истинную линию пути судна, из которой можем получить скорость и курс.

Следует обратить внимание на то, что СЛП можно переносить не только вперёд по ходу судна, но и назад, на какую либо изолинию полученную ранее, например изостадию и получить место и все остальные параметры движения ранее полученной обсервации в момент времени Т₀. Более того, построение полностью обратимо, то есть вначале можно измерить изолинию, потом снять пеленг и напоследок произвести обсервацию, затем на момент получения изолинии определить обсервованное место.

Предположим, что получены три разновременные линии положения не пересекающихся в одной точке.

Судно двигаясь с постоянной скоростью и курсом, поочерёдно пересекает все три линии ЛП_I, ЛП_II и ЛП_III в моменты времени Т₁, Т₂ и Т₃. Наша задача найти геометрическое место точек в которых может находиться судно в момент времени Т₄. Можно доказать, что эти точки будут лежать на одной прямой, то есть нам достаточно получить, как минимум, две точки для её построения. Эта линия и будет СЛП(Т₄).

В момент времени Т₁ судно могло находиться в любой точке ЛП_I и следовать любым курсом (нам не важно каким), одним из возможных курсов может быть курс вдоль ЛП_I. Следуя этим курсом, судно в момент Т₂ пересечёт ЛП_II, а в момент Т₃ ЛП_III, обозначим это расстояние – S₃₂, рассчитаем скорость на этом промежутке, за время t₃₂ = T₃ – T₂:

Двигаясь с этой скоростью дальше к моменту времени Т₄, судно прошло бы расстояние

и оказалось бы в точке М₄₁, лежащей на СЛП(Т₄).

Аналогичные рассуждения можно провести и для ЛП_II, и для ЛП_III и получить точки М₄₂, М₄₃, лежащие на СЛП(4). Если все три точки оказались на одной прямой, значит, наши построения верны.

Если в момент времени Т₄, наблюдалась какая либо изолиния или ЛП, мы получим обсервованное место судна на это время, а применив рассуждения приведенные в 8.1, мы можем получить место судна в момент Т₁, таким образом, зная две обсервованные точки, мы легко рассчитаем скорость и курс судна. В этом построении СЛП(Т₄), поочерёдно пересекая все ЛП, вполне удовлетворяет всем требованиям возможного пути судна (ВПС).

10.3. СЛП для случая трёх ЛП пересекающихся в одной точке.

Самым характерным случаем, могут являться, три пеленга одного объекта сделанные последовательно.

В том случае точку пересечения всех линий можно считать принадлежащей любой СЛП, в частности СЛП(Т₄). Нам осталось, получить только вторую точку для этой СЛП, для этого нам нужно проложить возможный путь судна (ВПС).

Для этого в удобном масштабе на ЛП_I откладываются промежутки времени t₃₂ = T₃ – T₂ и t₃₁ = T₃ – T₁. Из конца отрезка t₃₂ проводится линия параллельная ЛП_III до пересечения с ЛП_II. Полученная точка и конец отрезка t₃₁ соединяются прямой М₁М₂ и продолжается дальше до пересечения с ЛП_III в точке М₃, полученные отрезки пропорциональны по построению промежуткам времени t₃₁ и t₃₂. Следовательно эта прямая является одним из возможных ВПС. Отложив на ВПС отрезок

, рассчитанный уже по известным принципам получим ещё одну возможное место судна – точку М₄, проведя через неё и точку пересечения всех ЛП прямую мы получим СЛП(Т₄).

РАЗДЕЛ 2 Задания для выполнения практических занятий и контрольных работ.

Практическое занятие 1. Математическая обработка статистических данных.

Цель: Закрепить навыки вычисления СКП единичного измерения, вероятнейшего значение навигационного параметра и его СКП. Получить навыки в определении доверительной оценки измеряемой величины.