Определение параметров совмещения физической и математической моделей изделий сложной формы

Одной из актуальных задач прикладной геометрии в современных условиях автоматизации проектирования и производства технических изделий становится оценка точности их изготовления, на основе сопоставления материалов измерений с исходной математической моделью.

Выделяют следующие основные проблемы обработки материалов измерения сложных поверхностей:

§ возможности точной установки модели на столе контрольно-измерительной машины. Уточнение базирования модели ограничивается точностью изготовления баз и расположения относительно баз контролируемой поверхности, а также точностью их визирования (фиксации) при измерениях;

§ непосредственный замер координат контролируемых точек изготовленной поверхности, отклонения которых от эталона должны быть установлены, практически невозможен. Они могут быть установлены только косвенно на основании измерений достаточно большого объема в их окрестности;

§ конечная геометрия щупа, касающегося измеряемой поверхности позволяет оценивать координаты только косвенно. Достоверно фиксируется координата нижней точки щупа или его центра;

§ вследствие погрешностей базирования и изготовления для измеренных точек поверхности необходимо найти соответствующие им на математической модели изделия. Для сложных поверхностей решение данной задачи весьма затруднительно. Именно сопоставление соответствующих точек математической модели с результатами измерений, позволяет сделать заключение о точности изготовления.

При измерениях положение осей изделия после установки на столе КИМ в общем случае не совпадает с осями КИМ. Отличия определяют погрешность базирования, которая должна быть устранена перед сопоставлением результатов измерений с исходной математической моделью изделия.

Оценка точности базирования должна формироваться как на основе измерения баз, так и достаточного объема точек контролируемой поверхности. Наряду с решением задачи базирования поверхностей, должна быть также решена задача базирования контрольных обводов (сечений и характерных линий на поверхности) при различных используемых способах задания информации.

Рассмотрим вопрос совмещения детали и его математической модели [1]. Пусть имеются математическая и изготовленная с ограниченной точностью физическая модели. Начала собственных систем координат О и О_д моделей смещены на вектор . Кроме того, система О_дx_дy_дz_д повернута относительно осей Ox, Oy, Oz системы Оxyz на углы a, b и g (рис. 3.1).

Рис. 2.1. Системы координат детали и математической модели

На математической модели задается ряд характерных точек a _i. Производится замер соответствующих им точек b_i на детали. Число точек n и их расположение зависит от конкретной формы модели и определяется конструктором.

Необходимо найти преобразование R, которое переводило бы систему О_дx_дy_дz_д в систему Оxyz так, что сумма квадратов расстояний от преобразованных измеренных точек c_i=R(b_i) до соответствующих им точек математической модели a _i была минимальной:

(2.1)

Преобразование измеренной точки b_i в матричной форме можно записать следующим образом:

, (2.2)

где M(R) — матрица поворота:

Ограничимся линейным приближением, тогда, считая, что величины P_x, P_y, P_z, a, b и g, можно записать: sina»a, cosa»1. Отбрасывая величины второго порядка малости, получаем выражение для M(R):

.

Таким образом, искомыми являются шесть величин: P_x, P_y, P_z, a, b и g.

Преобразование (3.2) для измеренной точки в координатной форме выглядит следующим образом:

.

Подставив значения c_x, c_y и c_z в выражение (3.1), получаем выражения для функции Лагранжа:

Условием минимума функции Лагранжа является равенство нулю частных производных

Приравняв выражения для частных производных к нулю и сгруппировав подобные члены, получаем систему линейных уравнений:

(2.3)

Решая эту систему уравнений, получаем искомые значения P_x, P_y, P_z, a, b и g, определяющие преобразование (3.2). Определенные значения линейных и угловых смещений P_x, P_y, P_z, a, b и g составляют исходную информацию оператору КИМ для корректировки СКД.

После базирования физической модели на ней производится ряд кольцевых замеров, соответствующих контрольным обводам (сечениям) математической модели. Точки замеренного сечения b_i лежат в одной плоскости. Число точек в сечении зависит от геометрии конкретного сечения. Каждое замеренное сечение совмещается с соответствующим ему сечением математической модели способом, аналогичным описанному.