Заміна змінної у визначеному інтегралі.

· Під час заміни змінної у визначеному інтегралі виконуємо слідуючи дії: міняємо змінну інтегрування, міняємо диференціал , міняємо границі інтегрування. Після користуємось формулою Ньютона-Лейбніца. Вертатись до старої змінної не треба. Обчислимо інтеграл

Робимо заміну:

(нижня границя інтегрування ),

(верхня границя інтегрування ).

Одержуємо інтеграл:

НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ..

· Інтеграли з нескінченими границями.

Інтеграли з однією або двома нескінченими границями інтегрування прийнято трактувати як граничні значення деяких визначених інтегралів, а саме:

Де кожний з інтегралів у правій частині третьої рівності визначається так само, як у другому і третьому рівностях відповідно. Якщо при цьому границя або нескінчена, або не існує, то тоді кажуть, що невизначений інтеграл розбігається. При наявності кінцевої границі кажуть, невизначений інтеграл збігається.

· Інтеграли від функцій, що мають розриви.

Нехай функція f(x) має розрив і точці x = b, а в інших точках проміжку інтегрування (a, b) неперервна, тоді

Нехай тепер точка розриву знаходиться у точці x = a, а в інших точках проміжку інтегрування функція f(x) неперервна, тоді

Якщо точка розриву знаходиться у точці x = c, де a < c < b, то інтеграл представляється у вигляді суми:

(А)

В першому з інтегралів у правій частині останнього співвідношення точка розриву знаходиться на правому кінці проміжку інтегрування, а у другому – на лівому. Обидва ці випадки розглянути вище. Зверніть увагу на те, що кожний з інтегралів у правій частині співвідношення (А) досліджується окремо одне від одного.

Інтеграл у лівій частині (А) буде збігатися тоді і тільки тоді, коли будуть збігатися обидва інтеграла у правій частині (А).