Расчёт напряжённости поля бесконечной нити

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной прямолинейной нитью с линейной плотностью заряда, равной . Пусть требуется определить напряжённость, создаваемую этим полем на расстоянии от нити. Возьмём в качестве гауссовой поверхности цилиндр с осью, совпадающей с нитью, радиусом и высотой . Тогда поток напряжённости через эту поверхность по теореме Гаусса таков (в единицахСИ):

В силу симметрии

вектор напряжённости поля направлен перпендикулярно нити, прямо от нее (или прямо к ней).

модуль этого вектора в любой точке поверхности цилиндра одинаков.

Тогда поток напряжённости через эту поверхность можно рассчитать следующим образом:

Учитывается только площадь боковой поверхности цилиндра, так как поток через основания цилиндра равен нулю (вследствие направления E по касательной к ним). Приравнивая два полученных выражения для , имеем:

Работа перемещения заряда в электростатическом поле. Потенциал. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности электростатического поля.

Однородное электростатическое поле: в каждой точке поля.

.

Следовательно:

Т. е. работа при перемещении заряда между двумя точками в электростати­ческом поле

- не зависит от формы тра­ектории, а зависит от положения этих точек.

- равна убыли потенциальной энергии заряда в этом поле;

- работа по замкнутой траектории равна нулю.

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда.

Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал φ _∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при r ≥ R, где R – радиус шара.

Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

Рисунок 1.4.3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом E= - grad = -Ñ . Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность Eнаправлена в сторону убывания потенциала.   3)Электрический диполь. Электрический момент диполя. Поле диполя. Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q, -q), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Плечо диполя — вектор , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между зарядами. Электрический момент диполя (дипольный момент):   4. Проводник во внешнем электростатическом поле. Электростатическая защита. Если проводнику сообщить избыточный заряд, то этот заряд распределится по поверхности проводника. если внутри проводника выделить произвольную замкнутую поверхность S, то поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность должен быть равен нулю. внутри проводника будет существовать электрическое поле, что приведет к перемещению зарядов. Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие , суммарный электрический заряд внутри этой произвольной поверхности должен равняться нулю. Напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника можно определить, используя теорему Гаусса. Для этого выделим на поверхности проводника малую произвольную площадку dS и, считая ее за основание, построим на ней цилиндр с образующей dl (рис. 3.1). На поверхности проводника вектор Е направлен по нормали к этой поверхности. Поэтому поток вектора Е через боковую поверхность цилиндра из-за малости dl равен нулю. Поток этого вектора через нижнее основание цилиндра, находящееся внутри проводника, также равен нулю, так как внутри проводника электрическое поле отсутствует. Следовательно, поток вектора Е через всю поверхность цилиндра равен потоку через его верхнее основание dS': где Еn - проекция вектора напряженности электрического поля на внешнюю нормаль n к площадке d S. По теореме Гаусса, этот поток равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых поверхностью цилиндра, отнесенной к произведению электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды, окружающей проводник. Внутри цилиндра находится заряд , где - поверхностная плотность зарядов. Следовательно и , т. е. напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности электрических зарядов, находящихся на этой поверхности. Электростатическая защита — помещение приборов, чувствительных к электрическому полю, внутрь замкнутой проводящей оболочки для экранирования от внешнего электрического поля. Это явление связано с тем, что на поверхности проводника (заряженного или незаряженного), помещённого во внешнее электрическое поле, заряды перераспределяются так (явление электростатической индукции), что создаваемое ими внутри проводника поле полностью компенсирует внешнее. 5.1 Распределение заряда на проводнике. Электроемкость проводника. Вывод формулы электроемкости проводящей сферы. Распределение заряда в проводнике во внешнем электрическом поле Проводником называют тело, содержащее свободные носители заряда, т. е. заряды, которые под действием сколь угодно малого электрического поля перемещаются на макрорасстояния (в пределах всего проводника). Типичным примером проводника являются металлы, в которых роль свободных носителей заряда играют так называемые коллективизированные электроны. Существуют проводники, в которых роль свободных носителей заряда играют подвижные ионы. Если сумма положительных и отрицательных носителей заряда (как свободных, так и связанных) в теле равна нулю, то тело электронейтрально, в противном случае – заряжено. Равновесное распределение избыточного заряда в заряженном проводнике должно удовлетворять следующим условиям: – напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю (следовательно, объем проводника является эквипотенциальным); – линии напряженности электрического поля вне проводника, в непосредственной близости от его поверхности, перпендикулярны этой поверхности. Отклонение от любого из перечисленных условий привело бы к перемещению свободных носителей заряда либо в объеме, либо по поверхности проводника, но это означало бы отсутствие равновесия. Поскольку напряженность электрического поля, а значит, и электрическая индукция внутри заряженного проводника в равновесии должны быть равны нулю, то и поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность, построенную внутри проводника, должен быть равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса это означает, что внутри вспомогательных поверхностей, т. е. в любом объеме внутри заряженного проводника, суммарный заряд равен пулю. Отсюда следует, что весь избыточный заряд в заряженном проводнике при равновесии должен располагаться только на его поверхности. Электрическая индукция (смещение) вблизи от поверхности заряженного проводника численно равна поверхностной плотности избыточного заряда. Между электрическим полем вблизи поверхности заряженного проводника и плотностью избыточного заряда на этой поверхности существует прямая связь. Поэтому судить о распределении заряда на поверхности проводника можно по густоте силовых линий, отходящих от различных участков этой поверхности. Из общих соображений можно прийти к выводу, что напряженность электрического поля заряженного проводника неправильной формы будет выше в области выступов иниже в области впадин (рис. 5.1).   На остриях заряженного проводника поверхностная плотность электрического заряда и напряженность электрического поля могут быть настолько велики, что это приведет к появлению так называемого электрического ветра. Суть явления заключается в следующем. В сильно неоднородном электрическом поле вблизи острия у молекул воздуха индуцируется дипольный момент, и они притягиваются к проводнику. Коснувшись острия, молекулы заряжаются одноименно с ним и отталкиваются. Сила отталкивания превосходит ранее действующую силу притяжения, так как она действует на заряженные молекулы, а сила притяжения – на нейтральные. По этой причине заряженные молекулы будут удаляться от острия с большей скоростью, чем они приближались к нему. В результате возникает поток заряженных частиц воздуха от острия. Это явление можно использовать на практике, например, для снятия статического заряда с самолетов. При внесении проводника во внешнее электрическое поле свободные носители заряда, присущие проводнику, смещаются по полю (если они положительные) и против поля (если они отрицательные). Этот процесс идет до тех пор, пока на поверхности проводника не образуются смещенные заряды, собственное поле которых полностью экранирует внешнее электрическое поле (в результате поле внутри проводника будет равно нулю). Установление равновесного распределения заряда происходит чрезвычайно быстро, например, для металлов это время может составлять всего 10–19 с. Заряды, возникающие на поверхности проводника при внесении его во внешнее электростатическое поле, называются индуцированными, а само явление разделения и смещения зарядов в проводнике – электризацией через влияние. Поскольку электрическое поле в проводнике, находящемся во внешнем электростатическом поле, равно нулю, то его объем, включая поверхность, является эквипотенциальным. Это означает, что силовые линии напряженности электрического поля, подходящие к проводнику, должны быть нормальны к его поверхности и оканчиваться или начинаться на ней, не проникая внутрь проводника (рис. 5.2, а). Введение проводника в электрическое поле приводит в общем случае к перераспределению электрического поля в пространстве, проявляющегося в изменении вида силовых линий. а. б. Рис. 52. Сплошной проводник (а) и замкнутая проводящая оболочка (б)во внешнем электростатическом поле Если из проводника, находящегося во внешнем электрическом поле, удалить внутреннюю (электронейтральную) часть, т. е. образовать внутри полость, то это никак не отразится на величине и пространственном распределении электрического поля. В частности, внутри полости поле будет равным нулю (рис. 5.2, б). Таким образом, внешние по отношению к оболочке заряды не могут создавать внутри оболочки электрическое поле (или иначе – внешние электрические поля не проникают внутрь замкнутой проводящей оболочки). На этом принципе основана так называемая электростатическая защита. Чтобы предохранить какие-либо тела, например, измерительные приборы, от влияния внешних электрических полей, их окружают проводящей оболочкой. На практике достаточно эффективную защиту от внешних электростатических полей удается получить, используя вместо сплошной проводящей оболочки проводящую сетку.